Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктруций - Гленсдроф П.
Скачать (прямая ссылка):
Соответствующие граничные условия (11.11) — (11.13) теперь можно записать как
dz
или
Q=W = 0 при Z = O и z = h (11.74)
dW
= и ^на твердой поверхности;
(11.75)
= 0 (на свободной поверхности) 166 ГЛАВА 10
Введем безразмерные переменные
Z = -J. T = -^; (11.76) волновое число и частоту в этих же переменных запишем в виде
a =*kh и а = — . (11.77) Введем также следующий символ:
D = -*-.
dZ •
Тогда уравнения (11.72) и (11.73) можно представить в виде
(D2 - a2) '((D2 - а2 - о) W = h2) а2©, (11.78)
(D2-O2--J а)© = -{^h2)w. (11.79)
Отношение v/и называется числом Прандтля.
Предельное состояние, отделяющее устойчивые состояния от неустойчивых, определяется условием Or = 0. Мы уже доказали, используя наш критерий эволюции, что о — действительная величина [ср. с (11.49)]. Это может быть доказано и непосредственно из уравнений для возмущений [28].
Таким образом, уравнения для предельного состояния получаются просто подстановкой а = 0 в уравнения (11.78) и (11.79) соответственно:
(D2 - a2)2 W = А2) а2©, (11.80)
(D2 -а2) © = h2) W. (11.81)
Исключая @ из этих уравнений, получим
(D2 - a2f W = - (Яа) O2W, (11.82)
где Яа — число Релея (11.33). Граничные условия (11.74) и (11.75) в этом случае принимают вид
W = 0; (D2-O2)2W = 0 при Z = 0 и Z = I (11.83)
и
DW = 0 (поверхность твердого тела) | ИЛИ D2W = O (свободная поверхность) J' (11.84)
Аналогичное уравнение может быть выведено для 0.
Мы получили задачу на собственные значения для Яа в предельном состоянии. Иными словами, при фиксированном а2 неис-чезающее решение W, удовлетворяющее граничным условиям (11.83) и (11.84), существует лишь при некоторых частных значениях Яа. ПРОБЛЕМА УСТОЙЧИВОСТИ ПОКОЯЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ 167
Для примера рассмотрим решение задачи в случае обеих свободных границ. Тогда уравнение (11.82) и граничные условия (11.83) и (11.84) удовлетворяются функциями
W = A sin nnZ,
где А — постоянная и п — целое число. Подставляя W в уравнение (11.82), найдем
SU = ("'"' + *'>'. (11.85)
При фиксированном а2 наименьшее значение Sla достигается при п = 1; таким образом, получаем выражение
SU = + , (11.86)
которое еще остается функцией а2. Критическое значение числа Ре-лея отвечает минимуму Sla как функции а2, следовательно, минимизирующая величина а2 находится из уравнения
^r (я2 + а2)2 (2а2 - я2) = 0; (11.87)
да2
она равна
?2 = ^-. (11.88)
2
Критическое значение Sla, выше которого имеет место неустойчивость, равно
(SU)z = я4 = 657,5; (11.89)
ему отвечает критическая длина волны [см. (11.77)]
= = (11.90)
Следует отметить простоту теории устойчивости, основанной на анализе нормальных колебаний. Однако эта простота была достигнута в основном потому, что удалось исключить все переменные, кроме одной. Например, в (11.82) входит только функция W1 тогда как 0 была исключена. В тех задачах, которые не допускают такого исключения, удобней использовать вариационные методы, основанные на отыскании безусловного экстремума (см., например, разд. 11.8).
11.10. Приближенное определение критического числа Релея методом безусловного минимума
Рассмотрим кратко пример, иллюстрирующий применение вариационного метода (разд. 11.8) и сравним полученный результат с точным, установленным в разд. 11.9. После интегрирования в 168 глава 10
плоскости х, у можно записать (11.51) так:
і
9U J [gav(9a>* + Є*в>) - 2v\dijd*ij) +
о
і
+ о\ (SSTun + SuJ7)] dz - (gafh1 J (9.,9:,) dZ = 0. (11.91)
о
Введем безразмерные величины
Z = T' Y = a — kh
и подставим в уравнение (11.91) следующие пробные функции: 9 = Ci0 [ехр i(Xax + Yar))<j>(Z). U1 = O1 [exр і (Xax + Yar)] ~,
U2 = O2 [ехр і (Xax + Yay)] ,
U3 = w = а3 [ехр і (Xax + Yar]<j> (Z), 8 = as [ехр і (Xax + Yar)] F (Z). (11.92)
и их комплексно-сопряженные 9*, и], .. . . Зависимость 9 и w от Z мы выбрали одинаково; аналогично зависимость U1 и U2 от Z выражается функцией d<j>/dZ. Благодаря такому выбору очень просто удовлетворяются граничные условия и некоторые простые соотношения, вытекающие из уравнений для возмущений (например, исчезновение ?).
Далее, tIt(Z) будем считать нечетным полиномом
Ф (Z) = A1Z + A2Z3 + AsZ5 + ....
Чтобы не усложнять задачу, ограничимся в (11.92) пробными функциями, содержащими только один произвольный независимый параметр, ае, ае.....Другие параметры определяются из граничных условий. Это приводит к тому, что f(Z) —полином пятого порядка.
Рассмотрим случай двух свободных поверхностей. Тогда граничные условия (11.11) — (11.13) дают
?(0) = ?(1) = 0; ?"(0) = Г (1) = 0.
Поэтому с точностью до постоянного множителя, входящего в а, имеем
ф (Z) ~ IZ - IOZ3 + 3Z5.
Функцию F(Z) можно выбрать произвольной, но она должна удовлетворять граничным условиям. Как мы увидим, P(Z) не входит в окончательный результат (11.94), проблема устойчивости покоящейся жидкости 169
Интегрирование (11.91) по Z с пробными функциями (11.92) дает некоторую связь между десятью комплексными параметрами аь at, ... . Минимизируя эти соотношения по каждому из параметров а*, ........ получим уравнения *)
