Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Во втором случае обозначим буквой К точку окружности ж, к которой истинная прямая g подходит сколь угодно близко. Опишем около точки К истинную окружность тт*, меньшую ж и пересекающую прямую g в какой-нибудь точке М. Затем опишем около точки М окружность тт, которая была бы больше тт* и меньше ж. Эта окружность тт, будучи больше тт*, содержит внутри точку К, и так как она меньше ж, то из нашего предположения, в силу ранее доказанного, следует, что прямая g, проходящая через точку Мг непрерывно протекает внутри тт и, будучи продолжена в ту или другую сторону,
ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ
301
выходит за пределы тг через какую-либо точку и затем внутрь круга тг не возвращается. Так как, с другой стороны, прямая g сколь угодно близко подходит к точке К, лежащей внутри тг, то она необходимо должна содержать также и самую точку К; в этом и заключается противоречие с предположением, из которого мы исходили.
Так как совокупность всех окружностей, описанных около какой-нибудь точки, покрывает всю плоскость, не оставляя на ней пустых мест, то из предшествующего следует, что любые две точки нашей плоской геометрии могут быть соединены истинной прямой.
§ 41. Докажем, что аксиомы конгруентности в нашей плоской геометрии выполняются.
Выберем с этой целью какую-нибудь определённую истинную окружность у. и введём для её точек параметрическое представление с помощью угла ш, согласно § 18: в таком случае, когда ш принимает значения от 0 до 2тт, истинная окружность пробегается в определённом порядке. Благодаря этому для любой другой окружности, конгруент-ной х, также устанавливается вполне определённое направление обхода, именно то направление, которое получится, если мы с помощью двух последовательно совершённых поворотов (как это было сделано в § 22) совместим центр окружности у. с центром рассматриваемой окружности. Так как, согласно определению понятия движения, которое было дано в начале этой работы, невозможно совместить самое с собою первоначальную окружность х, изменив при этом н-аправление обхода на обратное, то для каждой окружности действительно существует одно вполне определённое направление обхода.
Возьмём теперь два луча, исходящие из одной точки М и не образующие вместе истинной прямой; опишем около точки М окружность, конгруентную ‘А, и из двух вырезанных этими лучами частей окружности фиксируем ту, которой соответствует интервал параметра ш, меньший тг. Установленное направление обхода ведёт в таком случае внутри фиксированной части окружности от одного луча к другому. Мы назовём первый луч правой стороной угла между обоими лучами, а второй луч — его левой
302
ДОБАВЛЕНИЕ IV
стороной, — сам же интервал параметра (<^ тг) будет для нас служить мерой этого угла. В таком случае из нашего определения движения следует первая теорема о конгруентности двух треугольников, которую мы сформулируем так:
Если для двух треугольников ABC и А'В'С' имеют место конгруентности-.
АВ = А'В', АС = А'С’, ВАС = В’А’С
и если, кроме того, АВ и А'В' суть соответственно правые, а АС и А'С — левые стороны углов ВАС и <С В'А'С, то справедливы также конгруентности:
ЗС ABC = -§С А'В'С и 2САСВ = $:А'СВ',
ВС— В'С'.
§ 42. После того, как в §§ 30—40 дано определение истинной прямой и выведены её свойства, нам придётся различать два случая:
Во-первых, предположим, что существует только одна прямая, проходящая через данную точку и не пересекающая данной прямой (аксиома параллельности). В таком случае в нашей плоскости выполняются все те аксиомы, которые были мною установлены (относительно плоскости) в основной части этой книги (глава I), с тою только оговоркой, что аксиому III надо брагь в более узкой формулировке, которая была дана в § 41. Но даже и при более узкой формулировке указанной аксиомы из этой системы аксиом с необходимостью следует евклидова геометрия на плоскости (смотри добавление II, стр. 202, а также глава I, стр. 92—93).
Во-вторых, предположим, что через каждую точку А проходят два луча, ие составляющие вместе прямой и не пересекающие некоторую заданную прямую g, причём всякий луч, исходящий из точки А и проходящий внутри угла, образованного указанными двумя лучами, пересекает прямую g.
Используя непрерывность, легко в таком случае получить, что и обратно — любым двум лучам, исходящим из точки Л и не составляющим вместе прямой, соответствует вполне определённая прямая g, не пересекающая эти лучи, но пересекающая всякий луч, исходящий из точки А и
ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ
303
проходящий внутри угла, образованного этими двумя полупрямыми. При этих условиях получается геометрия на плоскости Лобачевского-Больяи даже в том случае, когда в основу положена аксиома о конгруентности Ш5 в её более узкой формулировке, как это можно показать с помощью моего исчисления «концов» *).
В заключение я хочу указать на характерное различие между предлагаемым обоснованием геометрии и тем, которое я пытался дать б основной части этой книги. Там был указан такой порядок аксиом, при котором требование непрерывности находилось на последнем месте позади остальных аксиом, так что при этом естественно возникал вопрос, в каком объёме известные теоремы и доказательства элементарной геометрии от требования непрерывности не зависят. Напротив, в настоящем исследовании вопрос о непрерывности был поставлен посредством определения плоскости и движения на первом месте перед всеми остальными аксиомами, так что здесь важнейший вопрос состоял в том, чтобы найти наименьшее число требований, из которых можно было бы, при дальнейшем использовании непрерывности, получить элементарные образы геометрии (окружность и прямую) вместе с их свойствами, необходимыми для построения элементарной геометрии. И действительно, настоящее исследование показало, что для ‘этого достаточны требования, выраженные выше в аксиомах I—III.
