Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Геттинген, 10 мая 1902 г.
*) См. мою статью «Новое обоснование геометрии Лобачевского-Больяи», составляющую добавление 111 этой книги/'Прнве-дённый там способ доказательства вадо соответствующим образом изменить, а именно, там надо ввести понятие непрерывности, опустив при этом использование теоремы о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника. Чтобы получить теоремы о сложении концов (стр. 240—243), следует сложение рассматривать как предельный случай вращения плоскости, когда точка, вокруг которой вращается плоскость, удаляется в бесконечность.
ДОБАВЛЕНИЕ V
О ПОВЕРХНОСТЯХ ПОСТОЯННОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
О поверхностях постоянной отрицательной кривизны
Согласно Бельтрами*), поверхность постоянной отрицательной кривизны осуществляет кусок плоскости Лобачевского (неевклидовой плоскости), если принять за прямые плоскости Лобачевского геодезические линии поверхности постоянной отрицательной кривизны, а за длины и углы плоскости Лобачевского — настоящие длины и углы на этих поверхностях. Среди исследованных до сих пор поверхностей постоянной отрицательной кривизны не нашлось ни одной, которая • простиралась бы непрерывно и имела бы непрерывно меняющуюся касательную плоскость в окрестности любой своей точки; напротив того, все известные до сих пор поверхности постоянной отрицательной кривизны обладают особыми линиями, за которые невозможно продолжать эти поверхности непрерывно и с непрерывным изменением касательной плоскости. Вследствие этого не удаётся с помощью ни одной из известных до сих пор поверхностей постоянной отрицательной кривизны осуществить целиком всю плоскость Лобачевского, и нам кажется, что представляет принципиальный интерес вопрос о том, можно ли вообще плоскость Лобачевского в целом представить по способу Бельтрами с помощью ана-
¦ *) Giornale di Matematiche, т. 6, 1868.
О ПОВЕРХНОСТЯХ ПОСТОЯННОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ 305
литической *) поверхности постоянной отрицательной кривизны.
Чтобы дать ответ на этот вопрос, мы будем исходить из предположения, что существует аналитическая поверхность постоянной отрицательной кривизны —1, которая в конечном повсюду регулярна и не имеет особых точек; мы покажем, что это предположение приводит к противоречию. Чтобы окончательно характеризовать поверхность, существование которой мы предполагаем, необходимо приписать ей ещё следующее свойство:
Каждая точка, лежащая в конечном и предельная для точек этой поверхности, также является точкой этой поверхности**).
Если О есть некоторая точка этой поверхности, то всегда можно выбрать прямоугольные оси координат х,у,г так, чтобы точка О служила началом координат и чтобы уравнение поверхности в окрестности этой точки О имело вид:
г = ах* + Ьу* + ф{х,у), (1)
*) Радя простоты изложения я предполагаю здесь, что рассматриваемые поверхности имеют аналитический характер, хотя как способ доказательства, так и полученный результат (см. стр. 311) остаются в силе и при предположении, что функция $Р(дг,у) в уравнении (1) является достаточно далеко дифференцируемой неаиалитической функцией. Тот факт, что Действительно существуют иеаналитические, но в смысле теории поверхностей регулярные поверхности постоянной отрицательной кривизны (которые, в соответствии с доказанной дальше теоремой, ие могут простираться повсюду непрерывно с непрерывным изменением касательной плоскости) был по моему предложению показан Г. Люткемейером в его диссертацви: О. L ii t к е-m е у е г, «Ueber den analytischen Charakter der Integrate von par-tiellen Differentialgleichungen», Gottingen, 1902.
**) Смысл этого условия заключается в том, что запрещается рассматривать ограиичеииый кусок поверхности без граничной линии. Если же рассматривать такой кусок вместе с границей, то это противоречило бы требованию регулярности в окрестности любой точки (если применить его к точкам границы). В результате запрещено рассмотрение ограиичеииых кусков, чего и нужно было добиться, так как иначе доказываемая теорема была бы, конечно, очевядпым образом иевериа^ (Прим. ред.)
20 д. гильберт
306
ДОБАВЛЕНИЕ V
где а и b —- постоянные, связанные соотношением:
4 ab= —1,
а степенной ряд ^ {х,у) содержит члены не ниже третьего порядка относительно хну. Очевидно, что ось z будет в данном случае служить нормалью к поверхности, а оси х и у будут давать те направления, по которым определяются главные кривизны.
Уравнение
ах2 -\-Ьу = 0
определяет две асимптотические касательные к поверхности в точке О, лежащие в плоскости ху; следовательно, эти две касательные никогда не сливаются и дают направления, по которым проходят асимптотические линии к поверхности в исследуемой точке. Каждая из этих асимптотических линий принадлежит некоторому однопараметрическому семейству асимптотических линий, заполняющих окрестность точки О регулярно и без пробелов. Поэтому если мы под а и v будем понимать достаточно малые числа, то можно сделать следующее построение. Отложим на одной из двух асимптотических линий, проходящих через точку О, дугу, длина которой равняется значению параметра и, через конец этой дуги проведём вторую асимптотическую линию и отложим на ней дугу, длина которой равняется значению параметра vt полученная таким образом точка — конец второй дуги — однозначно определяется значениями параметров и и v. Если мы, в соответствии с этим, будем рассматривать прямоугольные координаты х, у, z точек поверхности как функции и и V, полагая
