Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Так как, в силу нашего предположения, АС меньше АВ, то истинная окружность, описанная около точки А и проходящая через точку С, должна пересечь непрерывную кривую у', соединяющую точки А и В, в некоторой точке В'. Точка М', соответствующая этой точке на кривой у, и будет серединой истинного отрезка АВ', а так как АС= АВ’, то с помощью соответствующего поворота около точки А можно получить из точки М' искомую середину N отрезка АС.
Так как отрезок АС при полуобороте около своей середины N переходит в СА, то из ранее доказанной теоремы следует, что отрезок АС всегда конгруентен отрезку СА — в предположении, конечно, что этот отрезок АС меньше некоторого вполне определённого отрезка АВ, положенного в основу наших рассуждений в начале § 26.
Одновременно мы убеждаемся в том, что если точки Cv С2, С3, ... сходятся к точке А, то середины Nu N2, N3, .. . 'отрезков ACV АС2, ACS, ... сходятся к той же точке А.
§ 27. В наших дальнейших рассуждениях нам понадобятся некоторые теоремы о. соприкасающихся истинных окружностях, и прежде всего нам необходимо построить две конгруентные окружности, касающиеся: друг друга извне в одной и только одной точке.
Для этого возьмём настолько малую окружность ж', чтобы внутри её не мог помещаться ни один отрезок, конгруентный вполне определённому отрезку АВ, положенному нами в основу в § 26; теорема § 11 показывает, что это заведомо возможно, так как иначе точки А к В могли бы быть передвинуты одновременно сколь угодно близко к точке М. Затем пусть ж — окружность [черт. 99], лежащая внутри ж' и имеющая общий с ж' центр. Возьмём две произвольные точки на окружности ж и опишем около них
19 Д. Гильберт
290
ДОБАВЛЕНИЕ TV
две конгруентные друг другу столь малые окружности а и р, что никакая пара точек иа х, лежащих внутри а, не может быть разделена — в смысле упорядочения точек на окружности — никакой парой точек окружности х', лежащих внутри р. Кроме того, эти окружности аир должны быть столь малы, чтобы полностью умещаться внутри х. В таком случае возьмём точку Р', лежащую внутри а и вне х, и
Черт. 99.
точку R', лежащую внутри р и внутри х, и опишем около этих точек крнгруентиые друг другу окружности тт' и р', которые должны быть столь малы, чтобы ft' лежало целиком в а и вне х, а р'— целиком внутри р и внутри х. Сделаем теперь такой поворот около центра окружности а, при котором окружность тт' перешла бы в окружность тт", касающуюся окружности у. извне. Пусть точки соприкосновения образуют при этом систему, которую мы обозначим буквой S. Далее, сделаем такой поворот около центра окружности р, при котором окружность р' перешла бы в окружность р, касающуюся х изнутри. Систему, которую
ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ
291
будут образовывать эти точки соприкосновения, мы обозначим через Т.
Так как, в силу выбора окружностей а, р, ни одна пара точек системы S не может быть разделена точками системы Т, то заведомо возможно путём поворота плоскости около центра окружности ж одну из крайних точек системы S, лежащую на ж, покрыть одной из крайних точек системы Т, лежащей на ж, так, чтобы остальные точки системы 5 перешли в точки, ни одна из которых не совпадает с точками системы Т. При этом повороте окружности тт" приходит в соприкосновение с окружностью р таким образом, что точка С, в которой имеет место совпадение, оказывается единственной точкой соприкосновения. Обо-
значим окружность it* в её новом положении через тг, а центры окружностей пир «соответственно через Р и R.
Мы хотим теперь показать, что точка соприкосновения С должна находиться посредине между обоими центрами Р и R. Действительно, в силу нашего выбора окружности ж' отрезок PR должен быть меньше вполне определённого отрезка АВ и поэтому, в силу сказанного в § 26, заведомо имеет середину; пусть этой серединой будет точка С*. В таком случае окружности тг, р при полуобороте около точки С* переходят одна в другую, а потому каждая точка одной окружности переходит в точку другой. Так как точка С является общей точкой обеих окружностей тг и р, то при таком полуобороте она должна перейти также в общую точку обеих окружностей; она, следовательно, должна при этом полуобороте остаться на месте и тем самым совпасть с точкой С*, вокруг которой был совершён полуоборот.
Из только что доказанной теоремы вытекает одновременно следующее:
Из окружности тг при помощи полуоборота около точки. С, лежащей на этой окружности, получается окружность р, касающаяся тг извне в точке С; не существует другой, отличной от р, окружности, конгруент-ной окружности тг и касающейся её извне в точке С и только в этой точке.
19*
292
ДОБАВЛЕНИЕ IV
§ 28. Далее справедлива теорема:
Если некоторая окружность i заключена в окружности тт и соприкасается с этой окружностью, то это касание имеет место только в одной точке.
Для доказательства предположим, что у окружностей t и тт [черт. 100] имеются две отличные друг от друга точки соприкосновения Q и Q’. Выполним в таком случае полуоборот около точки Q'; благодаря этому полуобороту окружность тт перейдёт в тт', касающуюся тт в одной только
