Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
с ней только в точке Q’. Таким образом, мы получили две окружности t и i", каждая из которых касается извне конгруентной им окружности t' в точке O' и притом только в этой точке, что противоречит теореме § 27.
Факты, найденные нами в § 27 и § 28, остаются в силе и в том случае, когда вместо окружностей пир берут меньшие окружности.
§ 29. Пусть Р — центр окружности тт, построенной нами в § 27, Q —точка, лежащая на тт, и, наконец, О — произвольная точка. В таком случае мы всегда можем, используя замечание в конце § 26 и опираясь, как в § 27, иа теорему § 20, задать точку Е, столь близкую к О, что внутри окружности I, описанной около середины М отрезка ОЕ и проходящей через точки О и Е, не найдётся ни одного отрезка, конгруентного PQ, и, что то же, утвер*
It* в одной только точке O'. Если мы теперь произведём тот поворот около центра окружности тг, который переводит точку Q в Q', то из окружности t получится окружность которая будет целиком лежать внутри тт, а потому заведомо вне t', соприкасаясь
точке Q', a t перейдёт в окружность лежащую вну-
три тт', а потому, конечно, целиком расположенную вне тт и касающуюся как окружности тт, так и окружности тс'
П
Черт. 100.
ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ
293
ждение будет справедливо для всякой точки Е' и соответствующей ей окружности если только Е' будет находиться ещё ближе к Е, чем О*).
В таком случае справедлива теорема:
Окружность I (или ['), описанная около середины М (М'щ) отрезка ОЕ (ОЕ') и проходящая через точку О, полностью охватывается окружностью с центром в точке О, проходящей через точку Е (Е')\ эта последняя имеет с окружностью t ([') соприкосновение в одной только точке Е (Е').
Для доказательства опишгм сначала около точки О такую окружность © [черт. 101], которая охватывает окружность t, соприкасаясь с ней. Эта окружность (о должна быть меньше окружности тг, так как в противоположном случае окружность, описанная около точки Черт. 101.
О и конгруентная тг, должна
была бы заходить внутрь круга t, а тогда внутри окружности t должен был бы находиться отрезок, конгруентный PQ, что невозможно. Согласно теореме, доказан-' ной в § 28, эта окружность <о может иметь с окружностью ! только одну точку соприкосновения; пусть эта точка — Ех. Если точка Ех не совпадала бы с точкой Е, то можно было бы сделать около М такой поворот, в результате которого точка Ег достигла бы точки- О; при этом повороте точка О перешла бы в некоторую точку Ег окружности t, отличную от точки Еj. Так как отрезок ОЕх
*) Выбираем круг а с цевтром в О, в котором ве лежит ни один отрезок, конгруентный PQ. Обозначим через Е какую-нибудь граничную точку такого круга с центром в О, для которого каждая из внутревних или граничных его точек образует вместе с точкой О отрезок, середйна М' которого лежит в а. Окружность с центром в точке М\ проведённая через точку О, кон-груентна окружности, описанной около точки О и проходящей через М'; она не содержит поэтому ни одного отрезка, кои-груентного PQ.
294
ДОБАВЛЕНИЕ IV
конгруентен отрезку Е20, а, следовательно, и отрезку ОЕ2, то точка Е% также должна бы быть точкой окружности ш, а это противоречит утверждению, что точка Ех есть единственная точка, общая окружностям ш и t; итак, окружность ш проходит через точку Е, что и требовалось доказать.
§ 30. В основу последующих рассуждений мы положим построенный в § 29 отрезок ОЕ и отнесём точкам О к Е числа 0 и 1; затем построим середину отрезка ОБ и отнесём ему число -j, потом отнесём серединам отрезков
^0, у) и , 1 ^ числа и , потом серединам от-
•g-, g- , -g и т. д. Повернём теперь весь отрезок (0,1) на
полуоборот вокруг точки О и отнесём всякой точке, получившейся при этом из точки, которой было сопоставлено число а, число—а; затем сделаем полуоборот около точки 1, снабдим всякую точку, которой раньше было сопоставлено число а, числом 2 — а и представим себе, что эти повороты, выполняемые попеременно то около точки О, то около точки Е, продолжаются дальше и что вновь возникающим числам относятся числа, пока, наконец, не окажется, что всякому рациональному числу а, знаменатель коего представляет собою некоторую степень 2, отнесена некоторая вполне определённая точка.
§ 31. Посредством этого соответствия мы легко можем убедиться в справедливости следующего закона:
В результате полуоборота около точки, которой соответствует число а, каждая точка х переходит в точку 2а — х. Таким образом, если мы сделаем полуоборот около точки 0 = 0, а затем полуоборот около точки а, то каждая точка х преобразуется в точку х-\-2а.
§ 32. Чтобы установить порядок средн точек, которым приписаны числа и чтобы можно было сравнивать ограничиваемые ими отрезки, мы используем установленную в § 29 теорему о соприкасающихся окружностях следующим образом.
резков
3 5 7
1
числа -=•,
О
