Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
§ 22. Мы легко теперь убедимся в справедливости следующих положений;
Если какие-либо две точки при движении плоскости остаются на месте, то и все точки плоскости остаются на месте, т. е. это движение представляет собою тождественное преобразование.
Каждую точку плоскости можно всегда с помощью движения (а именно — двух вращений) перевести в любую другую точку плоскости.
Первое положение есть непосредственное следствие теоремы § 20. Второе положение получится, если вокруг каждой из двух точек описать истинную окружность, проходящую через другую точку; при этом обе окружности обязательно должны пересечься.
§ 23. Важнейшей задачей является, далее, введение в нашу геометрию понятия истинной прямой и развитие свойств этого, понятия, необходимых для построения геометрии.
ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ
287
Для этого установим сначала следующую терминологию. Если А, В и А', В' — две такие пары образов точек, что при некотором движении точка А переходит в Л' и одновременно точка В переходит в В', то мы будем говорить, что (истинный) отрезок АВ конгруентен (обозначается это символом = ) (истинному) отрезку А'В'. Далее, две истинные окружности мы будем называть конгруентными, если существует движение, которое переводит центр одной из этих окружностей в центр другой и одновременно самую первую окружность во вторую.
Под полуоборотом Н около точки М мы будем разуметь поворот на угол tv, т. е. поворот, повторив который, мы получим тождественное преобразование. Если А, В, С суть три точки, обладающие тем свойством, что А при полуобороте около В переходит в С и одновременно при том же полуобороте С переходит в Л, то мы будем говорить, что точка В является серединой отрезка АС.
Мы говорим, что отрезок АС меньше или больше отрезка АВ, смзтря по тому, лежит точка С внутри истинной окружности, описанной около точки А и проходящей через точку В, или вне её. Для того чтобы аналогичным образом определить для любых отрезков и любых окружностей црнятия «меньше» и «больше», выполняют движения, благодаря которым начальные точки отрезков или, соот-‘ветственно, центры окружностей попадают в определённую точку.
§ 24. Истинный отрезок АС имеет не более одной середины; действительно, если бы отрезок АС имел две середины и мы обозначили бы полуобороты ’ около этих середии через Я, и Н2, то сложная подстановка представляла бы движение, оставляющее в покое каждую из точек А и С. Отсюда, обозначая символически тождественное преобразование через 1, мы, в силу сказанного в § 22, получим, что
НУЩ'= 1, т. е. Нх = Нг\
таким образом, обе середины должны совпасть. В частности, отсюда вытекает следующее. положение: если два
288
ДОБАВЛЕНИЕ IV
отрезка конгруентны, то и половины этих отрезков конгруентны.
§ 25. В дальнейшем ходе рассуждений нам понадобится следующая лемма:
Пусть точки Av А2, Л3, .. . сходятся к точке А, а точки Мj, М2, Мя, ... — к точке М. Тогда, если при выполнении полуоборотов около точек точки А{ пере-, ходят в точки Bt, то точки Bv В2} В3, ... тоже сходятся и притом к той точке В, в которую - переходит точка А при полуобороте около точки М.
Прежде всего, всегда можно найти жорданову область, внутри которой лежат все точки Bv Въ Ве, ... В этом мы можем убедиться с помощью такого же рассуждения, какое было применено в § 21 к системе точек Zv Z2, Z3, ...
Обозначим через В* точку сгущения точек BvB2,Ba, ... В силу аксиомы III, должно существовать такое движение, которое переводит точки А, М, В* соответственно в точки В*, М, А, т. е. точка В* получается из А путём полуоборота окало точки М. Так как, однако, и В получается из А путём полуоборота около точки М, то отсюда следует, что В* —В, что и требовалось Доказать.
§ 26. Мы покажем теперь, что если у некоторо-
го отрезка АВ существует середина М, то у, любого меньшего его отрезка АС также существует середина N. ..
Для доказательства соединим точки А и М какой-либо непрерывной кривой Y и для любой точки М’ этой кривой у определим точку В' так, чтобы М' служила серединой отрезка АВ'; геометрическим местом точек В' служит, как это можно заключить из доказанной в § 25 леммы, непрерывная кривая у'- Когда точка М' на кривой Y приходит в точку А, то и кривая у' обязательно приходит в точку А. Действительно, рассмотрим бесконечную последовательность точек Мj, М2, М3, .кривой Y, сходящихся к Л, и бесконечную последовательность соответствующих им точек Bv Вг,. В3, ... кривой Y • Если бы
последовательность Ви В2, В3, ... имела бы точку сгущения Л*, отличную от Л, то мы заключили бы отсюда, что существует движение, которое определённые точки, нахо-
ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ
289
дящиеся в любой близости к точке А, оставляет в любой близости этой точки А и вместе с тем переводит точку А в любую близость точки А*. В таком случае, в силу аксиомы 111, точка А должна была бы при некотором определённом движении и остаться на месте и в то. же время перейти в точку А*, что невозможно.
