Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Истинная окружность х в числовой плоскости является замкнутой жордановой кривой.
§ 9. Мы знаем, что все точки истинной окружности х принадлежат к точкам, лежащим на kk; ниже будет показано, что эти последние точки также все лежат на истинной окружности х и что, таким образом, справедлива следующая более сильная теорема:
Истинная окружность х идентична с точками, лежащими на kk; точки, лежащие внутри круга х, суть вместе с тем точки, лежащие внутри kk, а точки, лежащие вне круга х, суть в то же время точки, лежащие вне kk.
Чтобы доказать эту теорему, убедимся сначала, что точка М — «центр» истинной окружности х — может быть соединена с любой точкой J внутри х непрерывной кривой, не пересекающей ни в одной точке истинную окружность х.
Действительно, проведём через точку J обыкновенную прямую в числовой плоскости — так называемую «числовую прямую», и пусть Кх и К2 — две точки этой числовой прямой, в которых она по обоим направлениям из точки J
270
ДОБАВЛЕНИЕ IV
впервые встречает истиниую окружность х. Так как Кх и К2 являются в то же время и точками, лежащими на kk, то каждую из них можно соединить с М жордановой кривой, проходящей всецело внутри kk и потому, конечно, не пересекающей истинную окружность х; обозначим эти жордановы кривые соответственно через МКХ и МК2¦ Если одна из этих жордановых кривых пересекает прямолинейный отрезок КХК2 в некоторой точке В, то кусок кривой MB и отрезок JB прямой образуют вместе искомую линию соединения. В противоположном случае куски кривых МКХ и МК2 составляют вместе с отрезком КХК2 прямой замкнутую жорданову кривую у. Так как эта кривая у целиком лежит внутри числового круга f (§ 1), то точку А, лежащую вне числового круга Я1, заведомо нельзя соединить ни с одной точкой, лежащей внутри у, не пересекая при этом ни в одной точке кривую у. Кривая у состоит только из точек внутри kk, из точек на kk и из точек внутри х. Так как, исходя из А, этих последних точек можно достичь, только пересекая истинную окружность х в некоторой точке, которая является в то же время и точкой, лежащей на kk, то вся область, лежащая внутри у, должна лежать также и внутри kk. Поэтому если мы соединим точку М с J непрерывным, проходящим внутри у путём, то этот путь никак не сможет пересечь истинную окружность х и, значит, будет обладать требуемым свойством.
Отсюда мы, во-первых, заключаем, что точка М лежит внутри х, т. е. что центр истинного круга х лежит внутри него. ¦
Далее, так как любая точка, лежащая на kk, может быть соединена с точкой М жордановой кривой, которая, исключая концы, целиком проходит внутри kk и, таким образом, не пересекает х, то каждая точка, лежащая на kk, должна либо лежать на истинной окружности х, либо внутри истинного круга х. Если бы существовала точка Р, лежащая с одной стороны на kk, с другой стороны—внутри истинного круга х, то точку А, лежащую вне нельзя было бы соединить с точками, находящимися сколь угодно близко к точке Р, не пересекая при этом истинной окруж-
ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ
271
ности х; но все точки истинной окружности х являются покрытыми точками, а потому точка Р не может лежать на kk. Мы .пришли, таким образом, к противоречию. Итак, все точки, лежащие на kk, должны также лежать на истинной окружности х, т. е. сделанное ранее утверждение полностью доказано.
§ Ю. Точечный образ kk был в § 2 получен из числовой окружности k с помощью вполне определённого построения. Так как по крайней мере- одна точка числовой окружности k лежит, как это было показано в § 3, на kk, а все остальные её точки лежат либо на kk, либо внутри kk, точки же, лежащие на kk, образуют, как это было показано в § 9, не что иное как истинную окружность у., то указанное выше построение служит в то же время и средством получить из числовой окружности k истинную окружность х, являющуюся замкнутой жордановой кривой, окружающей числовую окружность k и касающейся её извне. Здесь, как и в дальнейшем, мы будем говорить, что жорданова кривая, которая содержит.другую жорданову кривую внутри и имеет с ней по крайней мере одну общую точку, касается этой второй извне или что вторая из этих жордановых кривых касается первой изнутри.
С помощью небольшого изменения предыдущего хода доказательства, а именно с помощью перемены ролей, которые играли в этом доказательстве точки, лежащие внутри окружности х и вне её. мы можем из числовой окружности k построить ещё и другую истинную окружность; будем теперь точки числовой плоскости, которые получаются из точек, лежащих вне окружности k 'или на этой окружности, называть покрытыми точками; все остальные точки назовём непокрытыми. Если непокрытую точку можно соединить с точкой М жордановой кривой, состоящей из одних только непокрытых точек, то мы будем говорить про эту точку, что она лежит внутри kkk. О точках, предельных по отношению к этим точкам, мы будем говорить, что они лежат на kkk, а о всех остальных точках — что они лежат вне kkk. Далее, мы покажем, подобно тому, как мы это сделали в §§ 3—9, что точки, лежащие на kkk, образуют около М истинную окружность, являющуюся
