Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Аксиома II. Всякая истинная окружность состоит из бесчисленного множества точек.
Последней из нужных нам аксиом мы предпошлём следующее определение:
Определение. Пусть АВ — некоторая определённая пара точек нашей геометрии; той же парой букв мы будем обозначать и образы этой пары точек на числовой плоскости. Окружим' каждую из точек А и В в числовой области окрестностью и обозначим эти окрестности соответственно буквами о и р. Если какая-нибудь точка А* попадёт в окрестность а, а в то же время точка В* попадёт в окрестность р, то мы будем говорить, что пара точек А*В* лежит в окрестности а[5 пары АВ. Пусть утверждение, что эта окрестность ар сколь угодно мала, означает, что а есть сколь угодно малая окрестность точки А и в то же время р есть сколь угодно малая окрестность точки В.
Пусть ABC — некоторая определённая тройка точек в нашей геометрии; теми же буквами мы будем обозначать образы этой тройки в числовой плоскости. Окружим точки
А, В, С на числовой плоскости окрестностями и обозначим эти окрестности соответственно буквами а, р, у. Если точка А* попадёт в окрестность а и в то же время
*) Выражение «истинная окружность» должно означать, что определённый таким путем образ окажется в процессе исследования изоморфным числовой окружности. Аналогичный же смысл имеют выражения «истиийая прямая» (стр. 257), «истинный отрезок» (стр. 287).
254
ДОБАВЛЕНИЕ IV
точка В* попадёт в окрестность р, а точка С* — в окрестность у, то мы будем говорить, что тройка точек А*В*С* лежит в окрестности ару тройки ABC. Пусть утверждение, что эта окрестность а(5у сколь угодно мала, означает, что а есть сколь угодно малая окрестность точки А ив то же время р есть сколь угодно малая окрестность точки В, а у — сколь угодно малая окрестность точки С.
Когда мы потьзовались словами «пара точек» и «тройка точек», мы отнюдь не предполагали, что точки этой пары или тройки не могут совпадать.
Аксиома III. Если существуют движения, посредством которых можно переводить тройки точек, находящиеся сколь угодно близко к тройке ABC, « тройки, сколь угодно близкие к А'В'С', то существует и такое движение, которое переводит тройку точек ABC точно в тройку А'В'С1 *).
Содержание этой аксиомы мы кратко будем формулировать так:
Аксиома III. Движения образуют замкнутую систему.
Если в аксиоме III мы допустим, что некоторые точки тройки (точек) могут совпасть, то легко получатся некоторые частные случаи этой аксиомы; отметим их особо.
Если существуют повороты вокруг точки М, при которых пары точек, лежащие в любой близости пары АВ, можно перевести в пары точек, лежащие в любой близости пары А'В', то существует также и такой поворот вокруг точки М, который точно переводит пару точек АВ в пару точек А'В'.
Если существуют движения, при которых пары точек, лежащие в любой близости пары точек АВ, можно перевести в любую близость пары точек А'В', то существует также и движение, переводящее пару АВ точно в пару А'В'.
Если существуют повороты вокруг точки М, при которых точки, лежащие в любой близости точки А, могут
*) Достаточно допустить, что аксиома 111 выполняется для достаточно'малых окрестностей, подобно тому, как это происходит у Ли; ход моего доказательства' можно изменить так, чтобы в нём понадобилось только, это более слабое допущение.
ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ
255
быть переведены в любую близость точки А', то существует также и такой поворот вокруг точки М, при котором точка А точно переходит в точку А'.
Этот последний частный случай аксиомы 111 я в последующем ходе доказательства часто буду применять, обозначая при этом вращаемую точку буквой М (а не А)*).
Я докажу сейчас следующее утверждение: Геометрия плоскости, в которой выполняются аксиомы I — III, является либо евклидовой геометрией, либо геометрией Б о ль я и- Лобачевско г о.
Если мы хотим получить только геометрию Евклида, то надо только аксиому 1 дополнить требованием, чтобы группа движения обладала инвариантной подгруппой. Это дополнение заменяет аксиому о параллельных.
Мне хотелось бы предварительно схематически набросать ход дальнейших рассуждений.
В окрестности некоторой точки М с помощью особого способа (§ 1 — § 2) строится некоторый определённый точечный образ kk и на нём определённая точка К, а затем подвергается исследованию истинная окружность, описанная около точки М и проходящая через точку К (§ 3). Получается, что истинная окружность х является плотным в себе, т. е. совершенным, точечным множеством.
Ближайшая цель дальнейших рассуждений состоит в том, чтобы показать, что истинная окружность у. является
*) В своём устном докладе на торжественном заседании по поводу юбилея Геттингенского научного общества в 1901г. я выставил в качестве отдельной аксиомы следующее требование (сейчас являющееся у иас одним из следствий): «Никогда не может случиться, что какие-нибудь две точки в результате движения подошли бы друг- к другу как угодно близко». Следовало бы исследовать, в какой ' степени, т. е. в соединении с какими другими требованиями, это требование может заменить аксиому III.
