Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Эта теорема показывает, что утверждение, сделанное нами в § 17, справедливо.
Заменим теперь параметр о параметром со = 2тто и назовём этот параметр углом, или длиной дуги, заключённой между точками 0(о= 0) и .S(t. е. а), отсчитываемой по истинной окружности х; поворот, при котором точка 0(а= 0) переходит в точку 5(т. е. о), мы будем называть вращением иди поворотом А [ш] истинной окружности х в самой, себе \на ущол ш.
§ 19. Этим доказательством теоремы § 17 мы закончим исследование вращения истинной окружности х в самой себе. Из сказанного в § 11 и § 12 мы заключаем, что все рассуждения, применённые к истинной окружности х, и все доказанные относительно неё положения справедливы также относительно всех истинных окружностей с общим центром в точке /И, лежащих внутри окружности х.
Обратимся теперь к той группе преобразований всех точек, которые получаются при вращениях плоскости вокруг фиксированной точки М, и докажем последовательно следующие теоремы:
Пусть дано, что некоторая истинная окружность ц с центром в точке М является жордановой кривойi внутри которой лежит точка М; в таком случае не существует ни одного вращения плоскости вокруг точка М, кроме, конечно, тождественного преобразования, которое оставило бы на месте каждую из точек окружности ц.
Для доказательства обозначим вращение около М, оставляющее на месте каждую точку иа ц, через М и предположим, во-первых, что, вопреки высказанному утверждению, на ц существует некоторая точка А, в любой близости которой лежат точки, меняющие своё положение при каком-то вращении М. Опишем около Л, что в силу сказанного в § 12 заведомо возможно, истинную
282
ДОБАВЛЕНИЕ IV
окружность а, которая проходила бы через точку, меняющуюся при вращении М, и была бы настолько мала, что, в силу сделанного выше замечания, теорема § 14 имела бы для неё место. Пусть В — точка пересечения этой окружности с ц; в таком случае движение М можно характеризовать как вращение окружности а по самой себе, при котором точка В остаётся на месте. Однако при таком вращении, в силу сказанного в § 14, все точки на а остаются на месте, что противоречит нашему предположению; таким образом, наше первое предположение оказывается недопустимым.
Построим теперь около М систему замкнутых жорда-новых кривых, обладающих следующими свойствами: истинная окружность ji принадлежит этой системе; каждая нз этих кривых либо целиком содержит другую кривую, либо целиком содержится в этой кривой; через каждую точку числовой плоскости проходит одна и только, одна кривая этой системы. Предположим в таком случае, во-вторых, что, вопреки предшествующему утверждению, в этой системе существует некоторая кривая X, находящаяся внутри или вне ц, такая, что все точки в кольцеобразной области, лежащей между ц и X, при всяком вращении М остаются на месте и в то же время в любой близости кривой X существуют такие точки, которые остаются на месте не при всяком вращении М.
Пусть А — точка на X, в любой близости которой находятся точки, смещающиеся при вращениях ' М. Опишем около А истинную окружность а, проходящую, через одну из этих перемещающихся точек и настолько малую, что к ней применимо сказанное в § 14. Так как эта окружность, будучи достаточно мала, всё же проходит через кольцеобразную область, которая при движениях М остаётся на месте, то движение М можно также характеризовать как вращение круга а в себе самом, причём бесконечное число точек окружности а остается на месте. Поэтому, в силу сказанного в § 14, при вращениях М все точки окружности а должны оставаться на месте, что противоречит нашему предположению. Таким образом, доказано, что при вращениях М все точки плоскости остаются на месте.
ОВ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ
283
§ 20. Мы сделаем теперь следующее важное утверждение
Каждая истинная окружность есть замкнутая жорданова кривая; система всех истинных окружностей, описанных около точки М, заполняет без пробелов нашу плоскость так, что всякая истинная окружность, описанная около точки М, либо охватывает любую другую такую окружность, либо содержится в ней. Все вращения Д [ш] нашей плоскости около точки М выражаются с помощью преобразований вида:
x' = f(x, у\ со), у = g(x, у, ш),
где х, у и х\ у' означают координаты точек числовой плоскости, а /, g—однозначные непрерывные функции трёх переменных х, у, ш! Далее, в каждой точке х, у число 2тт является наименьшим общим периодом функций /, g относительно аргумента ш, т. е. мы проходим через каждую точку (х, у) истинной окружности один и только один раз, когда ш пробегает все значения от 0 до 2гс. Наконец, при последовательном выполнении двух поворотов на углы шиш' имеет место формула
Д [ш] Д [ш’] = Д [ш ш'].
§ 21. Для доказательства сделанного утверждения возьмём опять истинную окружность х с центром в точке М, которая является замкнутой жордановой кривой, и рассмотрим вращения этой истинной окружности X по самой себе. В соответствии со сказанным в § 18, вводим угол ш так, что заданием некоторого значения ш, лежащего между 0 и 2тг, однозначно определяется некоторое движение истинной окружности х по себе самой. Когда все точки на х остаются на месте, то, согласно сказанному в § 19, все вообще точки плоскости также не перемещаются; следовательно, каждому вращению истинной окружности х по себе самой соответствует один вполне определённый поворот плоскости около точки М. Отсюда следует, что функции fug, входящие в установленные в § 20 формулы для вращения плоскости около точки М являются однозначными функциями для всех значений xt
