Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим теперь стремящиеся к К точки АГВ* К7, Ки,... и точки Кг, Къ Kii,..., которые, как это было только что доказано, также стремятся к К. Так как при некотором повороте точка К переходит в Kt ив то же время точка К' переходит в Kt, то, согласно аксиоме III, должен существовать также и такой поворот, который переводил бы точки К и К' в общую предельную точку К. Это противоречит, однако, определению поворота. Таким образом, опровергнув предположение, сделанное в начале этого § 6, мы полностью доказали указанную теорему.
ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ
267
§ 7. Принимая во внимание соглашения, принятые нами в начале § 6, мы будем трактовать истинную окружность х, из которой выключена точка Као, как упорядоченное в смысле Кантора точечное множество; в таком случае это линейное множество имеет порядковый тип линейного континуума.
Чтобы доказать это, определим сначала счётное множество точек 5 истинной окружности х, точки сгущения которых составляют самую истинную окружность X. Такое множество имеет, по Кантору*), порядковый тип системы всех рациональных чисел в их естественном порядке, т. е. точкам системы S можно привести в соответствие рациональные числа так, чтобы из трёх чисел а, Ь, с, соответствующих любым трём точкам А, В, С множества S, из которых точка В лежит между А и С, число b по своей величине всегда было бы заключено между а и с.
Пусть К — некоторая точка истинной окружности у», не принадлежащая системе S; в таком случае, если А, В — точки системы S, то мы будем говорить, что At В расположены по разные стороны или по одну сторону от К, смотря по тому, лежит ли точка К между точками А и В или она между ними не лежит. Нели мы это соглашение перенесём из точек системы 5 на соответствующие им рациональные числа, то точка К произведёт вполне определённое де.декиндово сечение в системе рациональных чисел: точке К мы поставим в соответствие иррациональное число, определённое этим сечением.
На истинной окружности х ие может быть двух различных точек К и Ккоторым соответствовало бы одно и то же иррациональное число. Действительно, построим замкнутую жорданову кривую КК\ и пусть Н — некоторая точка истинной окружности х, лежащая между К ч К' и, следовательно, внутри кривой КК'. Так как Н является точкой сгущения системы S, то в системе 5 должна существовать также точка А, лежащая внутри кривой К.К! и, следова-
*) G. Cantor, «Beitrage zur Begriindung der transfiniten Mengenlehre», Math. Ann. т. 46, § 9; дальнейшие выводы текста ср. со сказанным в § 11.
268
ДОБАВЛЕНИЕ IV
тельно, между точками К и 1C. Соответствующее точке А рациональное число а обусловливает, таким образом, различие сечений, получающихся благодаря точкам К и К'.
Наконец, мы хотим показать, что и обратно — каждому иррациональному числу а на истинной окружности х можно сопоставить соответствующую ему точку К.. С этой целью возьмём две последовательности: возрастающую последовательность ар а2, а3,... и убывающую последовательность Ьх, Ь%, Ьъ,..., каждая из которых сходится к а. Построим точки Ар Л2, Аа,... и Ви В2, Bv ..., соответствующие этим числам, и обозначим буквой К некоторую точку сгущения этих точек Аи А2, А3,..., Ви В2, Вв,... Точка К должна в таком случае соответствовать числу а, так как когда мы строим замкнутую жорданову кривую AtB(, то точки А(^.2» •.., ^f+\t ^’+2) fi/+3, • • •» ^ сле-
довательно, и их точка сгущения должны лежать виугри т. е. между точками А( и Bi% Поэтому сечение, производимое точкой К, есть не что иное как сечение, определяющее число а.
Рассмотрим точки, лежащие на обыкновенной числовой окружности радиуса 1, и сопоставим одной из этих точек знак zb°° и точку Коэ, остальным точкам в непрерывной последовательности — все действительные числа, а этим последним — соответствующие точки истинной окружности х. Мы придём при этом к следующему выводу; точки истинной окружности х могут быть взаимно однозначно с сохранением их порядка отображены на точки, принадлежащие обыкновенной числовой окружности радиуса 1.
§ 8. Чтобы достичь цели, поставленной в § 4, нам остаётся ещё доказать непрерывность полученного отображения, т. е. отсутствие пробелов на' истинной окружности х. Для этого представим себе, что точки истинной окружности х определяются координатами х, у на числовой плоскости, а точки числовой окружности радиуса 1 — через дугу t, имеющую начало в некоторой фиксированной точке; в таком случае надо доказать, что х и у сутЬ непрерывные функции t.
Пусть tx, 4> *3,... — некоторая монотонная, строго возрастающая или строго убывающая числовая последова-
ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ
269
тельность, сходящаяся к t*, a Kv К2, Ks,... — точки истинной окружности г, соответствующие этим значениям параметра, и притом пусть значению t* соответствует на х некоторая точка К*. Пусть, далее, Q — точка сгущения точек Ки К2, Ks,... Если мы построим некоторую замкнутую жорданову кривую KtK*, то точки K{+i, К{+2,
^/+в, ¦. а следовательно, и их точка сгущеиия Q, должны лежать внутри К;К*, т. е. точка Q также лежит между точками /Q и /С*; поэтому, значение параметра t, соответствующее точке Q, также должно находиться всегда между tt и /*. Это последнее противоречие устраняется только в том случае, когда точки Q и К* совпадают; итак, точки Ки К2, Ks,... сходятся к точке К*. Тем самым непрерывность зависимости функций лг, у от параметра t доказана, и отсюда следует теорема, которую мы в § 4 указали как на первую важнейшую цель наших исследований: эта теорема утверждает следующее:
