Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Группа всех движений истинной окружности х, переводящих её в самоё себя и являющихся вращениями вокруг точки М, голоэдрически изоморфна группе обыкновенных вращений единичной числовой окружности вокруг точки М в самой себе.
§ 18. Тот поворот около точки М, который переводит, точку О истинной окружности х с параметром О в точку 5 с параметром s, мы запишем посредством преобразования
f = 8),
причём функция Д (t, s) удовлетворяет условию Д (t, 0) = t. В таком случае на основании найденных нами свойств группы вращения мы можем утверждать, что функция Д (t, s) однозначна и непрерь*вна • при всех значениях обоих пере* мениых t и s. Так как при двух соответствующих друг другу значениях tut’ переменная s определяется однозначно с точностью до слагаемого, кратного 2тг, то из предыдущего следует, что функция Д (t, s) при постоянном значении t и возрастающем s либо постоянно возрастает, либо постоянно убывает. Так как эта функция при t—0 переходит в s, то необходимо должен Иметь место первый случай. Итак,
Д(*,<)>А'(0,*), Д(0 ,*)==<;, (/ > 0),
а гак как
Д (2п, s) — 2л -р Д (0, s) = 2п -j- s,
278
ДОБАВЛЕНИЕ IV
ТО
Д (2тг, 2п) = 4тс.
Стало быть, функция одной переменной t
постоянно возрастает от 0 до 4тт, когда аргумент t возрастает от О до 2гг. Из этого обстоятельства мьг тотчас же выводим следующее:
Любому положительному числу Р S 2тс соответствует одно и только одно положительное число t, для которого
Д (*, *) = *';
при этом t<^f. Значение параметра *(<^2тг) даёт нам на истинной окружности х такую точку, что при некотором повороте вокруг точки М точка ^ = 0 передвигается в точку t, а точка t — в точку t’.
Обозначим то значение t, для которого
Д (t, t) = 2тг, через <р то значение t, для которого
Д (/, <) = <р (1),
— через <р то значение t, для которого
A(t, t) = y (i),
— через ...; далее, положим вообще:
Д (*(?)• =
где а означает целое число и п — целое число Далее, положим:
<Р(0) = 0, <р(1) = 2я.
Тем самым функция ср непротиворечиво определена для всех рациональных значений аргумента, знаменатель которых представляет собою некоторую степень 2.
ОВ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ
279
Любой положительный аргумент и мы разложим в двоичную дробь вида
где zv г2, гв,... суть цифры, каждая из которых равна либо 0, либо 1. Так как числа последовательности
заведомо никогда не убывают и все Stp(l), то они приближаются к .некоторому пределу, который мы обозначим через ср (о). Функция ср (а) с возрастанием аргумента постоянно возрастает; покажем, что она также непрерывна. Действительно, если бы эта функция в некоторой точке
претерпевала разрыв, то оба предельных её значения
были бы отличны друг от друга и, стало быть, бесконечная последовательность точек, соответствующих парамет-
сходилась бы к точке, отличной от той точки, к которой сходится бесконечная последовательность точек, соответствующих параметрам
и
рам
Вращение, благодаря которому тйчка
перехо-
дит в точку t — <р / переводит также одновременно
/Ри ДОБАВЛЕНИЕ IV
точку # = в точку t = у ); а так как числа
^ (т) • 'Р (&) ’ 'f (р)’ " ’ ‘ постоянно убивают и, следовательно, точки, соответствующие этим значениям параметра, должны сходиться к некоторой точке А, то, в силу часто применявшегося нами следствия из аксиомы III, обе указанные ранее бесконечные последовательности точек должны сходиться к одной и той же точке.
Так как функция у (а) постоянно возрастает и непрерывна, то она допускает также и однозначнре непрерывное обращение.
• Поворот около точки М, благодаря которому точкэ
t == 0 переходит в точку t — переводит вместе с
тем точку f = где Ьт — некоторое целое число,
в точку *= ? Qs ~Ь • ^ак как ПРИ п = °° числа
tp {^2nJ стремятся к (р (о), а числа <р стремятся
к <р ®) > ТР> в СИЛУ аксиомы III, существует пово-
рот, передвигающий точку ^ = 0 в. /.= ср (ст), а точку
+а)-т-,е-
д (? (fe)> V <«)) = V (г« ч- °)
i
Но у есть непрерывная функция, а потому отсюда вообще для любых двух параметров т и о следует равенство:
'Д (?(*), <?(«)) ='?{* +<*)•
Тем самым показано, что если в формуле = s),
дающей преобразование, вместо параметров t, t\ s ввести с помощью некоторой, вполне определённой взаимно однозначной функции со параметры т, т', о, для которых
* = 'f(i), *'=?( т'), * = ?(«), '
ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ
281
то поворот А в этих новых параметрах выразится равенством
Т' = Т-4-0.
