Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
272
ДОБАВЛЕНИЕ IV
замкнутой жордановой кривой, окружающей свой центр М, проходящую внутри числовой окружности k и притом касающуюся её изнутри.
§11. Вместо числовой окружности k можно теперь взять любую замкнутую, проходящую внутри k жорданову кривую z, внутри которой лежит точка М. Применяя такое же, как и раньше, построение, мы найдём и для этой кривой z вполне определённую, охватывающую её истинную окружность с центром в точке М, которая является замкнутой жордановой кривой и касается z извне, а также вполне определённую, лежащую внутри z истинную окружность с центром в точке М, которая также является замкнутой жордановой кривой и касается z изнутри.
Заметим ещё, что всякая такая истинная окружность, построенная исходя из жордановой кривой г, может быть порождена и числовой окружностью; следует только выбрать ту числовую окружность, которая проходит внутри рассматриваемой истинной окружности, касаясь её изнутри, или же охватывает эту окружность, касаясь её извне; действительно, две истинные окружности, которые являются замкнутыми жордановыми кривыми и касаются одной и той же числовой окружности, либо охватывая её, либо проходя внутри, безусловно должны иметь общую точку и, следовательно, вообще совпадать.
§ 12. Теперь мы можем без особых затруднений доказать важное положение о том, что всякая истинная окружность с истинным центром в точке М, проходящая через некоторую точку Р, лежащую внутри л, является, так же, как и построенные в § 11 истинные окружности, замкнутой жордановой кривой, содержащей внутри точку М.
Для доказательства выделим с одной стороны все истинные окружности с центром в точке М, которые являются замкнутыми жордановыми кривыми и не содержат внутри точку Р, — мы их будем называть истинными окружностями первого рода; с другой стороны, выделим те из этих окружностей, которые, будучи замкнутыми жордановыми кривыми, захватывают точку Р, — их мы будем называть истинными окружностями второго рода.
ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ
Пред старим себе сначала, что каждой числовой окружностью с центром в точке М порождена охватывающая её истинная окружность, и рассмотрим затем те числовые окружности, которые порождают истинные окружности первого’рода. Затем найдём для числовых окружностей предельную окружность g, т. е. наименьшую числовую окружность, которая охватывает все эти окружности. Все1 числовые окружности, меньшие дают в таком случае истинные окружности первого рода. Истинная окружность у, про-, изошедшая из числовой окружности g, не может содержать внутри точку Р; она может только проходить через эту. точку. Действительно, если бы точка Р лежала внутри у, то можно было бы провести замкнутую жорданову кривую,* целиком лежащую внутри у и заключающую внутри себя точки М и Р, и из этой кривой получить охватывающую, её истинную окружность. Так как эта истинная окружность ВДЛИКОМ ВХОДИТ внутрь ИСТИННОЙ окружности Y> то её.
можно было бы получить с помощью числовой окружности, меньшей, чем g; и в то же время она должна была . бь
окружать' точку Р, что невозможно. Так как, как было:
уже упомянуто, все истинные окружности с центром в точке М, которые являются замкнутыми жордановыми кривыми, Порождаютсй также из числовых окружностей с центром в точке М, то очевидно, что истинная окружность, порождаемая окружностью g, является такой окружностью первого рода, которая охватывает вСё другие
истинные окружности первого рода.
G другой стороны, полагая,' что из каждой числовой окА ружности с центром в точке М порождена та истинная о^руж-ность, которая содержится внутри этой Числовой окружности, мы можем точно таким же способом установить существование истинной окружности второго рода, заключающейся внутри всех истинных окружностей Второго* рода.
Если бы ни одна из найденных Хами предельных окружностей не проходила через точку Р, то можно было бьг в лежащей между ними кольцеобразной области провести1 жорданову кривую; с помощью нашего способа мы заведомо получили бы затем истинную окружность, которая1, : будучи замкнутой жордановой кривой, не относилась бы
18 Д. Гильберт
274
ДОБАВЛЕНИЕ IV
ни к окружностям первого рода, ни к окружностям второго рода, что невозможно. Таким образом, сделанное в начале § 12 утверждение доказано.
§ 13. После того как мы нашли важнейшие свойства истинных окружностей с центром в точке М, проходящих внутри х, мы обратимся теперь к исследованию группы всех движений, которые испытывает истинная окружность х при вращении плоскости вокруг точки М.
Пусть, согласно построениям § 8, точки истинной окружности х отображены с сохранением их порядка на точки t числовой окружности радиуса 1; в таком случае каждому повороту Д нашей плоскости около точки М соответствует вполне определённое взаимно однозначное и непрерывное преобразование точек t единичного круга в самих себя. В самом деле, при повороте, согласно сказанному в § 5, порядок точек на истинной окружности остаётся неизменным, а потому остаётся неизменным, в силу § 7, и порядок значений параметра t. Это преобразование можно представить в виде формулы
