Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Что же касается взаимного расположения истинных прямых, взятых в совокупности, то следует различать два случая, в зависимости от того, имеет ли место аксиома о параллельных или же для любой заданной прямой и для каждой точки вне её существуют две прямые, которые отделяют прямые, пересекающие данную, от прлмых, её не' пересекающих. В первом случае мы приходим к евклидовой геометрии, во втором — к геометрии Больяи-Лобачевского (§ 42).
ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ
259
§ 1. Пусть М—некоторая точка в нашей геометрии и вместе с тем её образ в числовой плоскости х, у. Нашей ближайшей задачей является — построить вокруг М некоторые точечные образы, которые окажутся затем истинными окружностями, описанными около точки М.
Окружим точку М в числовой плоскости «числовым кругом», т. е. кругом $ в смысле обычного мероопредё-ления, столь малых размеров, что все точки на этом круге 5? и внутри его также являются образами точек и что существуют образы точек также и вне круга Тогда внутри круга № наверное найдётся круг f, концентрический с такой, что’ образы всех точек, лежащих внутри круга f, при любом повороте вокруг М остаются внутри круга Я1.
Чтобы доказать это, рассмотрим в числовой плоскости бесконечную последовательность концентрических кругов f f2, f3,..., радиусы которых, убывая, стремятся к нулю, и предположим, вопреки утверждению, что в каждом из этих кругов существует образ точки, выходящий при некотором определённом повороте вокруг М за пределы круга й или переходящий при этом на его границу; пусть А/— -такой образ точки, лежащий в круге f,, который при повороте Д; занимает место вне круга № или на его границе. Представим себе в таком случае, что из точки М в каждую точку А{ проведён радиус ri соответствующего числового круга f;, и рассмотрим кривую Y/> в которую радиус rt переходит при повороте Д,-. Так как кривая у,-из точки М идёт в некоторую определённую точку, лежащую за кругом ^ или на его границе, то она, по необходимости, должна пересечь границу круга пусть Bt и будет точкой пересечения, о которой идёт речь; пусть В будет точкой сгущения *) точек пересечения Вх, В2, В3,... Далее, пусть С( будет вообще той точкой, лежащей на радиусе г,., которая при вращении Д,- переходит в Bt. Так как точки С,, С2> С3,... сходятся к точке М, то, согласно аксиоме III, существует поворот вокруг точки М, при котором точка В, лежащая на границе круга переходит
*) Под точкой сгущения в этом приложении следует понимать то, что теперь называют обычно предельной точкой.
17*
260
ДОБАВЛЕНИЕ IV
в точку М, что противоречит ранее данному определению понятия «движение».
§ 2. Обозначим, как и в § 1, через t числовой круг, лежащий внутри круга 5? и удовлетворяющий условиям доказанной в этом параграфе теоремы; таким образом, все образы точек, лежащие внутри круга f, при вращениях вокруг точки М остаются внутри круга Й; пусть, далее, k — числовой круг, лежащий внутри f, и притом такой, что все его точки при любом повороте вокруг точки М остаются внутри f. В таком случае точки числовой плоскости, которые при каком-нибудь повороте вокруг точки М получаются из точек, лежащих внутри круга к или на его границе, мы кратко будем именовать покрытыми точками. Из аксиомы Ш немедленно следует, что покрытые точки образуют замкнутое множество. Пусть, далее, А — некоторая определённая точка, лежащая вне Й и служащая образом некоторой точки в нашей геометрии. Если непокрытую точку А' можно соединить с точкой А жордановой кривой, состоящей исключительно из непокрытых точек, то мы будем говорить, что точка А' лежит вне kk. В частности, все точки, лежащие вне числового круга f, наверное, лежат вне kk. О покрытой точке, в любой окрестности которой находятся точки, лежащие вне kk, мы будем говорить, что она лежит на kk. Точки, лежащие на kk, образуют замкнутое множество. Про точки J, которые не лежат ни вне kk, ни на kk, мы будем говорить, что они лежат внутри kk. В частности, все покрытые точки, не обладающие тем свойством, что в любой их близости находятся непокрытые точки, как например, точка М и точки внутри круга k, лежат, наверное, внутри kk.
§ 3. Вспомнив, что, в силу определения круга f, точка А при вращениях вокруг точки М никогда не может попасть внутрь круга {, мы убедимся, что при любом вращении вокруг точки М точки, лежащие вне kk, переходят снова в точки, лежащие вне kk, точки, лежащие на- kk, — в точки, лежащие на kk, и. точки, лежащие внутри kk,— в точки, лежащие внутри kk.
Каждая точка на kk, в силу нашего соглашения, есть покрытая точка, а так как мы знаем, что точки, лежащие
ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ
261
внутри круга k, лежат также внутри kk, то мы отсюда заключаем следующее:
Каждой точке К, лежащей на kk [черт. 98], наверное соответствует поворот А вокруг точки /И, благодаря которому точка К’, лежащая на границе круга k, попадает в точку К. Радиус
МК' числового круга ^
k после вращения Л вокруг точки М переходит в жордано-ву кривую, ' соединяющую точку М с точкой^, лежащей на kk и проходящей всецело внутри kk.
