Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
также н кривой КХК2. Поэтому мы можем сказать кратко: в первом случае пара точек Кг, Ki не разделяется парой точек Кх, К2. Отсюда следует, что во втором случае мы также имеем право сказать кратко: пара точек Кг, Ki разделяется парой точек Кх, Кг.
Произведём некоторый поворот вокруг точки М, при котором точки Кх, К2, Кг, К4 перейдут в точки К'х, К'2, Ку К'4. Напомним, что поворот, по определению, является непрерывным и однозначно обратимым преобразованием, переводящим точки, лежащие внутри kk, в точки, лежащие внутри kk, и точки, лежащие вне kk, — в точки, лежащие вне kk. Поэтому пары точек К[, К'ъ и К'ъ, К\ разделяются друг другом или не разделяются, смотря по тому, разделяются ли друг другом или не разделяются пары точек Кх, и К3, Kt, т. е. взаимное расположение пар то чек Кх, К2 и К3, Ki остаётся неизменным при вращении вокруг точки М.
Аналогичным образом выводятся и другие теоремы, которые соответствуют остальным общеизвестным фактам, касающимся взаимного расположения пар точек обыкновенной числовой окружности. Теоремы эти суть:
Есл'х точки Кх, К2 разделяются точками К-6, Kit то и точки К3, Kt разделяются точками Ки К2. Если точки Кх, Kt разделяются точками К2, Кь, а точки К2, Кц разделяются точками Ks,Kb, то точки KvKiразделяются точками Кг, Къ.
Благодаря этому мы приходим к следующему выводу:
Точки истинной окружности ж расположены циклически, т. е. относительно взаимного разделения пар точек они расположены так же, как и точки обыкновенной числовой окружности. Это расположение инвариантно по отношению к поворотам вокруг центра М истинной окружности ж.
ОВ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ
265
§ 6. Дальнейшее важное свойство истинной окружности мы сформулируем так:
Для любой пары точек истинной окружности 7. существует другая разделяющая ег пара точек этой же окружности.
Обозначим через Коэ какую-либо фиксированную точку истинной окружности т, имея три другие точки КХУ К2, К& истинной окружности т., мы будем говорить, что одна из них, Кг, лежит между двумя другими, Кх и Кг, или же не лежит между ними, смотря по тому, разделяется ли пара точек Kv Кг парой К2, К <х или не разделяется ею.
В противоположность высказанному выше утверждению предположим, что существуют две точки К к 1C истинной окружности ж, которые не разделяются никакой другой парой точек; тогда из нашего соглашения следует, что между этими точками не может быть ни одной точки истинной окружности ж. Далее, мы можем принять, что существует точка Кх, такая, что пара точек Кх, К разделяется парой К, А»; действительно, в противоположном случае мы могли бы в наших дальнейших рассуждениях поменять роли К и К. Далее, из точек истинной окружности ж выберем бесконечную последовательность R, сходящуюся к точке К, и соединим точки Кх и 1C одной кривой, проходящей внутри kk, и другой кривой, проходящей вне kk. Путём соединения этих двух кривых получается замкнутая жорданова кривая, КХК, отделяющая Као от К, а потому и от бесконечного числа точек последовательности R, сходящейся к К. Пусть К2 — одна из таких точек последовательности R. Так как точка К2 лежит между Кх и К', ио не может лежать между К и К', то точка К2 должна лежать между Кх и К Соединив теперь, аналогично предыдущему, К2 с К1 замкнутой жордановой кривой К2К, мы придём точно так же к некоторой точке Къ последовательности R, которая лежит между Къ и К и т. д. Таким образом, мы получим бесконечную, сходящуюся к точке К последовательность точек Кх> К2, Къ,. • ., каждая из которых лежит между предыдущей точкой и точкой К.
Сделаем теперь поворот вокруг точки М, в результате которого точка К попадёт в одну из точек Kv К2, К3,.
266
ДОБАВЛЕНИЕ IV
например, в точку Kt. Точка К' при этом повороте перейдёт в точку К\. Так как, согласно нашему предположению, точки К и К' не были разделены никакой парой точек, то такое же утверждение справедливо и-для пары К{, Ki. Поэтому точка Kt должна либо совпасть с точкой К{_х, либо совпасть с точкой К1+г, либо лежать между точками Кг_х и К1+1; во всяком случае точка Kt лежит между К[_2 и K/+t, а потому и каждая из точек бесконечной последовательности Кь Кг, Кь, Кт, Кд, К[и ... лежит между предшествующей точкой и точкой К.
Мы хотим теперь показать, что точки /С', К\, К[j сходятся к точке К. Действительно, если бы точки К'ъ, K’v Ки,... сходились к некоторой точке Q, отличн'ой от К, то мы выбрали бы из них некоторую точку Так как все точки K+i” K’t+s> K+W • • ¦ лежат между K't и к, то существует замкнутая жорданова кривая КгК, отделяющая точку Коо от точек ICl+i, K'l+S, К'1+Х2, а следовательно, и от точки Q, т. е. точка Q должна лежать между Kt и К.
В силу расположения точек Kt относительно точек Ki отсюда следует, что точка Q должна лежать между всеми точками Kv Къ, Кя,... с одной стороны и точкой К— с другой. Таким образом, замкнутая жорданова кривая QKoа должна отделять все точки Kv К$, К9,. .. от точки К, но в таком случае точки Ки Къ, Кд,... не могут сходиться к точке К, как это им полагается.
