Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Если А и В суть некоторые две точки нашей плоскости, то всегда существует такая окрестность точки А, которая содержит точку В.
Эти требования содержат, как мне кажется, строгое определение— для случая двух измерений—того понятия, которое у Р И м а и а и Гельмгольца фигурирует под именем «mehrfach ausgedehnte Mannigfaltigkeit» — «многократно протяжённое многообразие», а у Л и—под именем «Zahlenmannigfaltigkeit» — «числовое многообразие» и которое лежит в основе их общих исследований. Эти понятия служат также основой для строгой аксиоматической обработки геометрии положения (Analysis situs).
Принимая вышеуказанное более узкое определение плоскости, мы, очевидно, заранее исключаем эллиптическую геомет-
ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ
251
именно, я предположу, что все точки нашей геометрии можно одновременно взаимно однозначным образом отобразить на лежащие в конечной области точки числовой плоскости или на некоторую их часть, так что в результате каждая точка нашей геометрии характеризуется вполне определённой парой чисел х, у. Это понимание плоскости мы сформулируем так:
Определение плоскости: Плоскость есть система вещей, называемых точками, которая допускает взаимно однозначное отображение на совокупность точек числовой плоскости или на некоторую часть этой совокупности. Мы будем пользоваться точками числовой плоскости для обозначения соответствующих точек нашей плоскости.
Для любой точки А нашей плоскости существует в числовой плоскости жорданова облгсть, в которой лежит образ точки А и все точки которой также отображают точки нашей плоскости. Эти жордановы области называются окрестностями точки А.
Всякая, лежащая в окрестности точки А, жорданова область, внутри которой лежит точка А (образ точки Л), опять-таки является окрестностью точки А.
Если В есть некоторая точка, лежащая в окрестности точки А, то эта окрестность является в то же время и окрестностью точки В.
Если А и В суть какие-то точки нашей плоскости, то всегда существует окрестность точки А, содержащая также точку В.
Определим движение как взаимно однозначное преобразование нашей плоскости самой в себя. Очевидно с самого начала, что можно различать двоякого рода взаимно одно-
рию, так как точки этой последней не могут быть отображены на точки, лежащие в конечной части числовой плоскости с помощью какого-либо способа, согласующегося с нашими аксиомами. Нетрудно, однако, заметить те изменения, которые надо ввести в наш ход рассуждений, если в основу понятия плоскости положить её более широкое определение.
252
ДОБАВЛЕНИЕ IV
значные непрерывные преобразования числовой плоскости самоё в себя. Именно, если мы возьмём в числовой плоскости некоторую замкнутую жорданову кривую и предположим, что на этой кривой установлено некоторое направление обхода, то эта последняя при такого рода преобразовании переходит опять-таки в замкнутую жорданов^ Кривую, имеющую некоторое определённое направление обхода. В последующих исследованиях мы принимаем, что если к числовой плоскости применить преобразование, определяющее движение, то направление обхода в кривой, получающейся в результате преобразования, будет то же, что и у первоначальной кривой. Это предположение*) обусловливает следующую формулировку понятия движения.* Определение движения. Движение есть такое взаимно однозначное непрерывное преобразование точек образов на числовой плоскости в себя, при котором направление обхода замкнутой жордановой кривой остаётся неизменным. Преобразование, обратное преобразованию движения, есть снова движение.
Движение, при котором одна точка М остаётся неизменной, называется вращением вокруг точки М [или поворотом около точки М].
После введения понятий «плоскость» и «движение», мы устанавливаем следующие три аксиомы:
Аксиома I/ Если последовательно выполнены два движения, то получающееся в их результате преобразование снова является движением.
Кратко мы это будем формулировать так:
Аксиома I. Движения образуют группу.
*) У Лн это предположение содержится в требовании, чтобы группа движений порождалась бесконечно малыми преобразованиями. Противоположное предположение (т. е. предположение, что возможно изменить направления обхода) существенно облегчило бы ведение доказательства, поскольку в этом случае «истинная прямая» может быть непосредственно определена как место тех точек, которые все остаются в покое прн преобразовании, меняющем направление обхода и в то же время оставляющем неизменными две точки.
ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ
253
Аксиома II. Если А и М — две любые, отличные одна от другой точки плоскости, то точку А всегда можно перевести в бесчисленное множество различных положений путем вращения вокруг точка М.
, Назовём совокупность точек, которые получаются из ОДНОЙ, отличной от М точки при помощи всевозможных вращений вокруг точки М, листанной» *) окружностью в нашей геометрии на плоскости; в таком случае содержание аксиомы II можно сформулировать так:
