Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Положим, наконец:
а-0 = 0-а = 0.
Ifi*
244
ДОБАВЛЕНИЕ Ш
Из аксиом IIIj_3, трактующих о конгруентности отрезков, мы непосредственно убеждаемся в том, что
ар = ра, а(ру)=(ар)у.
т. е. что для умножения концов справедливы
как коммутативный, так и ассоциативный законы.
Так же легко показать, что
Ьа-=а, (—1)д — — а
и что если концы а, р некоторой прямой удовлетворяют уравнению
ар = —1,
то эта прямая проходит через точку О.
Выполнимость деления получается непосредственно; точно так же каждому положительному концу гс можно отнести положительный (равно как и Черт. 97. отрицательный) конец,
квадрат которого равен концу тг и который можио поэтому обозначить через У п.
Чтобы показать справедливость дистрибутивного закона для исчисления концов, мы построим сначала из концов р и y конец р Y [черт. 97] по способу, указанному в § 2. Если мы затем найдём по ранее указанному способу концы ар, <Г/> а (Р —J— y). то мы убедимся, что это построение сводится к тому конгруент-иому отображению плоскости в самоё себя, которое вызывает на прямой (0, с») смещение на отрезок ОА. Если же мы затем построим сумму концов ар и ау, исходя не
НОВОЕ ОБОСНОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ БОЛЬЯИ-ЛОБАЧЕВСКОГО 245
из точки О, а из А,-—а это, согласно замечанию, сделанному в § 2, допускается, — то в качестве этой суммы действительно получится конец a(jJ-j-y), т. е. равенство
аР + ау = а(Р + У)
справедливо.
§ 4. Уравнения точек
После того, как мы в §§ 2—3 убедились, что счёт концов подчинён тем же правилам, что и счёт обыкновенных чисел, построение геометрии не представляет никаких дальнейших затруднений; оно происходит в общих чертах следующим образом.
Если ?, jj суть концы некоторой прямой, то концы
мы назовём координатами этой прямой. Справедливы следующие основные положения:
Если а, р, у суть три конца, обладающие тем свойством, что соответствующий им конец Ащ—Р2 положителен, то все прямые, координаты которых удовлетворяют уравнению
аи рг/ -f- Y = °>
проходят через одну и ту же точку.
Доказательство. Если построить, в соответствии со сказанным в § 2 и § 3, концы
2а-_ Р -
J^4ctf—р ’ Y4orf—р2
и принять во внимание значение координат и, v и то обстоятельство, что а во всяком случае не равно 0, то указанное линейное уравнение примет вид:
("Л? -f- X) (xjj -f- X) = — 1.
Исследуем теперь преобразование произвольного переменного конца to, которое даётся равенством:
ш’ = т —(- X.
246
ДОБАВЛЕНИЕ III
Для этого рассмотрим сначала преобразования а»' = хсо и w' = to -j— X.
Что касается первого преобразования, то, очевидно, умножение произвольного конца а> на постоянную х равносильно, согласно сказанному в § 3, смещению плоскости вдоль прямой (0, оо) на некоторый зависящий от х отрезок.
Последнему преобразованию, т. е. прибавлению к произвольному переменному концу а> конца X, соответствует некоторое, зависящее только от X, движение плоскости в самой себе, именно движение, которое может быть рассматриваемо как вращение плоскости около конца оо.
Чтобы усмотреть это, вспомним, что, согласно изложенному в заключении § 2, прямая (w, оо) при зеркальном отображении относительно прямой (0, оо) переходит в прямую (— а>, со), а эта последняя при зеркальном отображении относительно прямой со^ переходит в прямую
(a>-f- X, оо), т. е. прибавление конца X к переменному концу ю равносильно последовательному выполнению зеркальных отображений относительно прямых (0, оо) и , со^.
Из ранее сказанного следует, что если 5 и rj суть концы прямой, то равенствами:
&' = х? + Х,
Щ' = Щ 4- х
определяются концы той прямой, которая получается из прямой с концами ?, rj при помощи некоторого-, вполне определённого, зависящего только от х, X движения плоскости. Из вышеприведённого уравнения
(xS+X)(xj] + X) = —1 для концов ?, jj' следует соотношение
• = — 1.
Согласно сделанному в § 3 замечанию, это соотношение является условием того, что соответствующие прямые про-
НОВОЕ ОБОСНОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ БОЛЬЯИ-ЛОБАЧЕВСКОГО 247
ходят через точку О; поэтому все прямые (s, 7j), удовлетворяющие первоначальному уравнению
(х$ -(- X) (хк) X) = — 1,
должны проходить через одну точку; таким образом, теорема, формулированная нами, полностью доказана.
После того, как мы убедились, что уравнение точкн в координатах прямой линейно, легко вывести частный случай теоремы Паскаля для пары прямых и теорему Дезарга для перспективно расположенных треугольников, а также остальные теоремы проективной геометрии. Также без труда получаются затем известные формулы геометрии Больяи-Лобачевского, и тем самым завершается построение этой геометрии с помощью аксиом 1 — IV.
