Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
*) Доказательство проводится по методу Гаусса; см., например, Bonola-L iebmann, tDie nichteuklidische Geometrie», Leipzig, L908 и L921, § 32.
234
ДОБАВЛЕНИЕ Ш
отрезком ВА и лучом (В, а), равен углу, образованному отрезком В’А’ и лучом (В’, а'); фигуры же АВа и А'В'а' называются конгруентными.
Наконец, определим известным способом зеркальное отражение:
Определение. Если из некоторой точки опустить на прямую перпендикуляр и продолжить этот последний за его основание на отрезок, ему конгруентный, то соответствующая конечная точка называется зеркальным отражением первоначальной точки относительно этой прямой.
Зеркальные отражения точек одной и той же прямой лежат опять-таки на прямой; эту последнюю мы будем на^ зывать зеркальным отображением первоначальной прямой.
§ 1. Леммы
Докажем сначала ряд следующих лемм:
Лемма 1. Если две прямые пересекают третью под равными соответственными углами, то эти прямые безусловно не параллельны.
Доказательство. Положим, напротив, что эти две прямые в некотором направлении параллельны. Если мы повернем теперь всю фигуру вокруг середины отрезка, отсекаемого этими двумя прямыми на третьей, на полуоборот, т. е. построим по другую сторону этого отрезка соответствующий конгруентный треугольник, то из нашего предположения будет следовать, что дре первые прямые параллельны также и в другом направлении, а это заключение противоречит аксиоме IV.
Лемма 2. Для любых двух непересекающихся и непараллельных прямых а и b всегда найдётся третья прямая, перпендикулярная как первой из них, так и второй.
Доказательство. Из любых двух точек А и Р прямой а [черт. 92] опустим перпендикуляры АВ и РВ' на прямую Ь. Пусть отрезок перпендикуляра РВ’ больше отрезка АВ; огложнм в таком случае АВ на В’Р от точки В' до точки А'; таким образом, точка А' лежит между Р и В'. Проведём теперь через А' прямую а', которая пересекает
НОВОЕ ОБОСНОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ БОЛЬЯИ-ЛОБАЧЕВСКОГО 235
В’А' в точке А' под тем же углом и по ту же сторону а', под которым перпендикуляр ВА пересекает прямую а. Покажем, что прямая а' должна пересечь прямую а.
С этой целью из двух лучей, на которые разбивается прямая а точкой Р, обозначим через аг тот, на котором лежит точка А, и проведём из В луч А, параллельный а,.
Далее, пусть А’— луч, исходящий из точки В', образующий-с лучом Ь такой же угол и направленный в ту же сторбну, как и луч А, исходящий из точки В. Так как, согласно лемме 1, луч А' не может быть параллелен лучу А, а следовательно, не может быть параллелен и лучу а: и, наверное, не пересекает луча А, то, как легко заключить из аксиомы IV, он должен пересечь луч ах; пусть Т — точка пересечения лучей А'. и а,. Так как а' по построению параллелен А’, то, в силу аксиомы П4, прямая а' должна выйти из треугольника РВ'Т через сторону РТ, что и требовалось доказать. Обозначим точку пересечения прямых а и а' буквой Q.
Из точки Q опустим перпендикуляр QR на Ь\ затем отложим отрезок B'R на прямой Ь от точки В до точки R' так, чтобы направление от В к R' на прямой b совпадало с направлением от В' к R. Точно так же отложим отрезок /4'Q от точки А на прямой а в том же направлении до точки Q. Найдём, далее, середины М и N отрезков QQ" и RR’. Отрезок MN, соединяющий эти точки, и есть искомый общий перпендикуляр к прямым а и Ь.
236
ДОБАВЛЕНИЕ !!!
Действительно, из конгруентности четырёхугольников A’B'RQ и ABR'C? следует равенство отрезков QR и O’/?', а также то, что QR' перпендикулярно Ь. Отсюда, далее, мы заключаем, что четырёхугольники QRNM и Q’R'NM
О
Черт. 93.
конгруентны; тем самым' наше утверждение, а вместе с тем и лемма 2 полностью доказаны.
Лемма 3. Для любых двух непараллельных друг другу лучей всегда найдётся прямая, параллельная этим двум лучам, т. е. всегда найдётся прямая с двумя заданными концами аи^.
Доказательство. Проведём через какую-либо точку О параллели к заданным лучам и отложим на этих параллелях от точки О равные отрезки [черт. 93]; пусть
НОВОЕ ОБОСНОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ БОЛЬЯИ-ЛОБАЧЕВСКОГО 237
эти отрезки будут О А и О В, так что
ОА = ОВ,
и пусть луч, идущий от точки О к А, имеет конец а, а луч, идущий от О к В, — конец р. Соединим точку А с концом р и разделим пополам угол, образуемый двумя лучами, исходящими из точки А; точно так же соединим точку В с концом а и разделим пополам угол, образуемый двумя лучами, исходящими из точки В. Первую биссектрису обозначим буквой а, вторую — буквой Ь. Из кон-груентносги фигур 0.4 р и О Во. следует равенство углов:
?(ОЛр)=-?(ОЯа),
?(<MP)=3C(aBp).
Из последнего равенства получается также равенство углов, образовавшихся при проведении биссектрис, именно:
ЗС (0Аа) = ? (аАР) = (аВЬ) = (6Яр).
Сначала надо доказать, что обе биссектрисы а и Ь не пересекаются и не параллельны друг другу.
Положим, что прямые а и Ь пересекаются в точке М. Так как треугольник 0.4В равнобедренный по построению, то
