Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
ЗС В АО = ? АВО-, отсюда, в силу предыдущих равенств, находим ЗС ВАМ= -5С АВМ,
и, следовательно,
АМ=ВМ.
Соединим точку М лучом с концом а. Из последнего равенства отрезков, в силу равенства углов ^С(аЛ/И) и ¦§С (аВМ), следует конгруентность фигур аАМ и аВМ, а из этой конгруентности следует конгруентность углов ЗС (аМА) и ^с.(аМВ). Так как это заключение, очевидно, неправильно, то биссектрисы а и & не пересекаются.
Положим теперь, что прямые а и Ь параллельны; это означает, что они должны иметь общий конец, который
238
ДОБАВЛЕНИЕ I!!
мы обозначим буквой Пусть луч, идущий от В к а, пересекает луч, идущий от .4 к [J, в точке С, а прямую а — в точке D; докажем, что отрезки DA и DB равны. Действительно, в противном случае отложим отрезок DA на DB от точки D до некоторой точки В' и соединим В’ лучом с концом Из конгруентности фигур DAa и DB'ii следует в таком случае равенство углов -§С (DAa.) и ??(DB')l), а, таким образом, углы •?? (DB'\t) и -§С (Dfiji) должны быть также равны, что.невозможно в силу леммы 1.
Равенство отрезков DA и DB имеет своим еледствием равенство углов <? (DAB) и (DBA), а так как, согласно предыдущему, углы -§С (САВ) и (СВА) также равны, то значит и углы ¦§? (DAB) и <? (САВ) должны быть равны. Это заключение, очевидно, неправильно, а потому предположение, что прямые а и b параллельны, надо отвергнуть.
Так как, в силу этих соображений, прямые а и b не могут ни пересекаться, ни быть параллельными, то, согласно лемме 2, существует прямая с, одновременно перпендикулярная обеим прямым. Пусть эта прямая пересекает их в точках Е и F. Я утверждаю, что эта прямая и является искомой, соединяющей оба заданных конца аир.
Для доказательства этого утверждения предположим противное: пусть а не служит концом для прямой с. В таком случае соединим каждое из оснований Е и F лучом с концом а. Соединив прямой середины отрезков АВ и EFt мы легко убздимся, что EA = FB. Отсюда следует конгруентность фигур аЕА и aFB, а отсюда — равенство углов <? (АЕа) и (BFa); следовательно, равны также и углы, которые образует прямая с с лучами, исходящими из точек Е и F. Это заключение противоречит лемме 1. Аналогично получается, что р также служит концом для прямой с, и тем самым лемма оказывается доказанной.
Лемма 4. Пусть а и b — две параллельные.прямые, а О — точка, лежащая внутри той области плоскости, которая заключена между а к b [черт. 94]; обозначим через Оа зеркальное отражение точки О относительно прямой а, через Оь — зеркальное отражение точки О относительно прямой Ь и через М — середину отрезка ОаОь\ в таком
НОВОЕ ОБОСНОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ БОЛЬЯИ-ЛОБАЧЕВСКОГО 239
Черт. 94.
случае луч, исходящий из точки М и параллельный как а, так и Ь, в точке М перпендикулярен прямой ОаОь.
Доказательство. Предположим, противное и восставим из точки М в ту же сторону перпендикуляр к ОаОь. Пусть прямая ОаОь пересекает прямые а и b в точках Р и Q. Так как PO<^PQ-\-QO, то РОа<ГРО„ и точно так же QOb^QOa, а потому точка М должна лежать внутри той области плоскости, которая лежит между прямыми а и Ь. Следовательно, этот перпендикуляр, восставленный в точке М, должен пересечь либо прямую а, либо прямую Ь. Положим,. что он пересекает прямую а в точке А; в таком случае АОа= АО и АОа = АОь, т.'е. точка А должна лежать также и на прямой bt что противоречит условию леммы *).
Лемма 5, Если а, Ь, с — три прямые, обладающие одним и тем же концом <о, и если зеркальные отображения относительно этих прямых мы обозначим соответственно через Sa, Sb, Sc, то всегда существует прямая d с концом и, обладающая следующим свойством: последовательное зеркальное отображение относительно прямых а, Ь, с равносильно зеркальному отображению относительно прямой d; это может быть выражено следующей формулой:
Доказательство. Предположим, во-первых, что прямая b проходит внутри той области плоскости, которая-лежит между а и с. Пусть О — некоторая точка на прямой Ь. Её зеркальные отображения относительно прямых а и с обозначим соответственно через Оа п Ос. Если мы
*) Этот вывод. по существу совпадает с доказательством. Лобачевского, см. «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных:*, § 111, Записки Казанского университета, 1S35 г.,' кн. 3, а также в Полном собрании сочинений по геометрии, т. I, Казань, 1883 г.
240
ДОБАВЛЕНИЕ Ш
обозначим буквой d прямую, согдиняющую середину отрезка ОдОс с концом о), то, в силу леммы 4, каждая из точек Оа и Ос является зеркальным отображением другой относительно прямой d. Следовательно, операция SdScSbSa оставляет в неизменном положении точку Оа и луч, соединяющий точку Оа с концом (0. Так как эта операция, кроме того, сводится к последовательному получению четырёх зеркальных отображений, то теоремы о конгруентности учат, что эта операция есть не что иное, как тождественное преобразование; отсюда н следует наше утверждение.
Легко, во-вторых, убедиться б справедливости леммы 5 в том случае, когда прямые сна совпадают. Действительно, пусть Ь' — прямая, служащая зеркальным отображением Ь относительно а; обозначим через Sb> зеркальное отображение относительно Ь'. Мы можем немедленно 'убедиться в справедливости формулы
