Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
ДОБАВЛЕНИЕ IV
ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ*)
(Из Mathematische Annalen, т. 56, 1902.)
Исследования Римана и Гельмгольца об основаниях геометрии побудили Ли приняться за проблему аксиоматической разработки геометрии, исходя из понятия группы, и привели этого проницательного математика к системе аксиом; с помощью теории групп преобразований он доказал, что эти аксиомы достаточны для построения геометрии **).
При обосновании теории групп преобразований Л и всегда исходит из того, что функции, определяющие группу, дифференцируемы; поэтому в исследованиях Л и остаётся нерассмотренным вопрос о том, является ли предположение о дифференцируемости в проблемах аксиоматики геометрии действительно неизбежным или же дифференцируемость соответствующих функций является не более как простым следствием понятия группы и остальных геометрических аксиом. При своём способе изложения Л и был вынужден также особо выделить акСиому о том, что группа движения производится бесконечно малым преобразованием. Как эти требования, так и существенные составные части других аксиом Ли, относящихся к природе уравнения, которое определяет равноотстоящие точки, могут 'быть
*) Сравнительная характеристика излагаемого здесь метода обосиовання геометрии с методом, применявшимся в основной части этой книги, сделана в конце этой статьи (стр. 303).
**) Lie—Engel, «Theorie der Transformationsgruppen», т. 3, раздел 5.
ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ
249
выражены чисто геометрически только очень натянуто и сложно и, кроме того, кажутся обусловленными только аналитическим методом, которым пользовался Л и, а не самой проблемой.
Поэтому в последующем я старался установить для геометрии на плоскости такую систему аксиом, которая, также опираясь на понятие группы, содержала бы только простые, геометрически обозримые требования и,1 В частности, отнюдь не предполагала бы дифференцируемости функций, осуществляющих движение. Аксиомы установленной мною системы содержатся как составная часть в аксиомах Ли или же, как я полагаю, могут быть из них сразу выведены.
Мой метод доказательства полностью отличается от метода Ли: я оперирую, главным образом, с понятиями созданной Г. Кантором теории точечных множеств и использую теорему К. Жордана о том, что каждая плоская, непрерывная замкнутая кривая без двойных точек делит плоскость на внутреннюю и внешнюю области. В выставленной мною системе некоторые отдельные составные части всё же, наверное, излишни; однако я отказался от дальнейшего исследования этого обстоятельства из соображений простоты формулировок аксиом и, главным образом, потому, что я хотел избежать сложных и геометрически необозримых доказательств.
Я исследую в дальнейшем аксиомы только для .плоскости, но думаю, что и для пространства может быть установлена аналогичная система аксиом, которая делает возможным построение пространственной геометрии аналогичным путём *).
Предпошлём нашему изложению некоторые определения..
Определения. Под числовой плоскостью мы понимаем обычную плоскость с прямоугольной координатной системой х, у.
*) Вместе с тем, в последующем исследовании для частного случая группы движений в плоскости даётся, как мне кажется, ответ на.тот общий вопрос, относящийся к теории групп, который был мною поставлен в моём докладе «Математические проблемы». См. G6ttinger Nachrichten, проблема 5, 1900.
250
ДОБАВЛЕНИЕ IV
Кривая этой числовой плоскости, не содержащая двойных точек и непрерывная во всех своих точках, включая концы, называется жордановой кривой. Если жорданова кривая замкнута, то часть числовой плоскости, лежащая внутри той области, которую ограничивает эта кривая, называется жордановой областью.
Для облегчения, изложения и для его большей доступности в этом исследовании я дам более узкое определение плоскости, чем этого требовало бы дальнейшее изложение *),
*) О более широком определении понятия плоскости см. мою статью об обосиоваиии геометрии в Got tinge г Nachrichten, 1902. Я установил там следующее определение плоскости:
Плоскость есть система вещей, называемых точками. Каждая точка А определяет некоторую часть системы точек, к которой эта точка сама принадлежит и которая называется окрестностью точки А.
Точки окрестности всегда можно взаимно однозначным образом отобразить на точки определённой жордановой области числовой плоскости. Такую жорданову область называют образом этой окрестности
Каждая жорданова область, содержащаяся в образе и заключающая внутри себя точку А, опять-таки является образдм некоторой окрестности точки А. Если имеются различные образы одной и той же окрестности, то получающееся отсюда взаимно однозначное преобразование рассматриваемых жордановых областей одной в другую должно быть непрерывным.
Если В есть какая-то точка некоторой окрестности точку. А, то эта окрестность является в то же время окрестностью также и точки В.
Для любых двух окрестностей точки А всегда существует третья окрестность зтой же точки А, общая им обеим.
