Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Вместе с тем, мы видим, что по крайней мере одна из точек границы числового круга k, а именно точка Клежит на kk.
Соединим, кроме Черт. 98.
того, точку А, лежащую вне kk, произвольной жордановой кривой с точкой М и обозначим теперь буквой К ту её точку, которая лежит на kk и обладает тем свойством, что все точки, лежащие на этой жордановой кривой между точками К и А, лежат вне kk. После этого рассмотрим систему всех точек, образующихся из точки К путём всевозможных поворотов около точки М, т. е. рассмотрим истинную окружность л, описанную около М и проходящую через точку К. Все точки этой истинной окружности лежат на kk.
Согласно аксиоме 11, истинная окружность ж содержит бесконечное количество точек. Если К* является точкой сгущения точек, лежащих на истинной окружности ж, то эта точка, в силу аксиомы 111, также лежит на истинной окружности %. Обозначим через Кх некоторую точку на истинной окружности ж и произведём поворот вокруг точки
262
ДОБАВЛЕНИЕ IV
М, переводящий точку К* в точку К{, тогда окажется, что точка Кх также является точкой сгущения окружности х. Таким образом, мы приходим к теореме:
Истинная окружность х есть множество, замкнутое и плотное в себе, т. е. множество совершенное.
§ 4. Важнейшей целью последующих рассуждений является доказательство того, что истинная окружность X является замкнутой жордановой кривой. В дальнейшем окажется, что истинная окружность х совпадает с точками, лежащими на kk.
Покажем сначала, что любые две точки Кх и К2 истинной окружности х можно всегда соединить как жор-д.мовой кривой, все точки которой, кроме концов, всецело проходят внутри kk, так и жордановой кривой, все точки которой, кроме концов, всецело проходят вне kk.
Действительно, в соответствии с предыдущим изложением проведём жордановы кривые МКХ и Mf(2, которые, проходя внутри kk, соединяют точку М с точками Кх и К2‘, исходя из точки М, будем двигаться по кривой МКХ. Последнюю точку кривой МКг, которую мы при этом встретим, обозначим через Р. Часть РКХ первой жордаиовой кривой образует вместе с частью РКч второй жордановой кривой первую из искомых линий, соединяющих точки Кх и К2.
Рассмотрим, с другой стороны, повороты вокруг точки М, при которых точка К переходит в точку Кх и в точку К2; точки Ах и Л2, которые при этом получаются из точки А, лежат, согласно § 3, вне kk и поэтому могут быть соединены с точкой А кривыми, лежащими вне kk. Из этих соединяющих кривых и из жорда новых кривых, которые при этих вращениях образуются из построенной в § 3 жордановой кривой АК, легко можно образовать жорданову кривую, связывающую точки Кх и К2 и целиком лежащую вне kk.
§ 5. Доказанная нами только что теорема даёт нам возможность определённым образом упорядочить точки истинной окружности х.
Пусть Ки К2, Кг, Ki — некоторые отличные друг от друга точки истинной окружности %. Соединим точки Кх и Ко с одной стороны жордановой кривой, которая всецело (между точками Кх и К2) лежит внутри kk, а с другой —
ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ
263
кривой, всецело лежащей вне kk. Так как эти соединяющие кривые, включая их концы Кх и К2, непрерывны, то они образуют вместе замкнутую жо'рданову кривую. Одну из кривых, получающихся таким образом, исходя из точек Кх и К2, мы всегда будем обозначать через КХК2- Вся числовая плоскость, из которой выключена кривая КХК2> распадается, согласно известной теореме Жордана, на две области, одна из которых лежит внутри, а другая — вне кривой КХК2. Что же касается положения точек К3 и /f4, то здесь возможны два случая: во-первых, точки К3 и не отделены друг от друга кривой КХК2, т. е. они обе либо лежат вместе внутри, либо вне этой кривой; во-вторых, точки К$ и КА отделяются кривой КХК2 друг от друга, т. е. К3 лежит внутри кривой KxKz, а —вне её, или наоборот.
Если точки Kv К2 соединить какими-либо другими двумя кривыми, одна из которых проходит внутри kk, а другая вне- kk, то легко убедиться, что относительно вновь полученной замкнутой жордановой кривой КгК2 точки /f3, К4 будут расположены точно так же, как и относительно предыдущей. Действительно, пусть справедливо первое предположение и пусть точки Кй и обе лежат внутри кривой КХК2, построим внутри kk путь W, соединяющий точки К3 и Kt. Если этот путь выходит за пределы области, лежащей внутри замкнутой кривой КХК2, то он должен в конце концов вновь вернуться внутрь этой области; поэтому можно часть этого путн W, проходящую вне кривой КХК2, заменить путём, проходящим вблизи соответствующего куска кривой КХК2 и притом всецело проходящим как внутри kk, так и внутри КхКг\ таким образом, получается путь W*, который соединяет точки К3 и /f4 и точно так же целиком проходит внутри kk и внутри КХК2. Из части кривой КхКг , лежащей внутри kk, и из части кривой КХК2, лежащей вне kk, образуем новую замкнутую
жорданову кривую К\К2- Путь W*, соединяющий точки и Пройдёт, очевидно, внутри этой новой кривой
264
ДОБАВЛЕНИЕ IV
КХК2, не пересекая её, т. е. точки Кг и КА не будут отделены друг от друга кривой КХК%. Отсюда, после соответствующего построения, произведённого вне kk, будет следовать, что точки К3 и не отделяются друг от друга
