Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гильберт Д. -> "Основания геометрии" -> 80

Основания геометрии - Гильберт Д.

Гильберт Д. Основания геометрии — ОГИЗ, 1948. — 492 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovaniyageometrii1948.djvu
Предыдущая << 1 .. 74 75 76 77 78 79 < 80 > 81 82 83 84 85 86 .. 169 >> Следующая

256

ДОБАВЛЕНИЕ IV

замкнутой жордановой кривой*). Доказать это удаётся благодаря тому, что мы убеждаемся сначала в возможности упорядочения точек истинной окружности к. (§ 4 —§ 5), затем заключаем отсюда о возможности взаимно однозначного отображения точек окружности % на точки обыкновенной окружности (§6— §7) и, наконец, показываем, что это отображение должно быть непрерывным (§ 8). При этом получается также, что первоначально построенный точечный образ kk идентичен истинной окружности (§ 9). Далее следует теорема о том, что всякая истинная окружность, лежащая внутри круга X, также является замкнутой жордановой кривой (§10 — §12).

Мы переходим теперь к исследованию группы преобразований, которые при вращении плоскости вокруг точки М переводят истинную окружность к. в самоё себя (§ 13). Эта группа обладает следующими свойствами: 1. Всякий поворот вокруг точки М, оставляющий на месте хотя бы одну точку истинной окружности х, оставляет на месте все точки этой окружности (§ 14). 2. Всегда существует один поворот около точки М, который произвольно заданную точку окружности % переводит в любую другую точку этой же окружности (§ 15). 3. Группа вращений около точки М непрерывна (§ 16). Эти свойства полностью определяют построение группы преобразований, соответствующей вращениям истинной окружности х в самой себе; именно, мы устанавливаем следующую теорему: группа всех преобразований истинной окружности ж в себя самоё, которые являются вращениями около /М, голоэдрически-изоморфна группе обыкновенных вращений обыкновенной окружности по самой себе (§ 17 —§ 18).

Исследуем теперь группу преобразований всех точек нашей плоскости прн вращении её около точки М. При этом имеет место теорема, утверждающая, что кроме тож-

*) Сравни это со ставящей себе аналогичную цель интересной заметкой А. Ш е н ф л н с a: A. Sch6nflies, «Ueber einen grundlegenden Satz der Analysis Situs», Gottinger Nachrichten, 1902, а также дальнейшие изложения и литературные указания: Berichte der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, Добавление к т. II (1908), стр. 158 и 178.
ОВ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ

257

дественного преобразования не существует ни одного вращения плоскости около точки М, которое оставило бы все точки некоторой истинной окружности ц на месте. Далее, мы убеждаемся в том, что каждая истинная окружность является замкнутой жордановой кривой, и получаем формулы для преобразований группы всех вращений около точки М (§20— §21). Отсюда, наконец, легко получаются следующие теоремы: если при некотором движении плоскости две её точки остаются на месте, то все остальные её точки тоже остаются на месте, т. е. такое движение представляет собою тождественное преобразование. Любую точку плоскости можно перевести в любую другую её точку с помощью соответствующего движения (§ 22).

В дальнейшем нашей важнейшей целью является-определение в нашей геометрии понятия истинной прямой и развёртывание свойств этого понятия, необходимых для построения геометрии. Сначала определяются понятия полуоборота и середины отрезка (§ 23). Отрезок имеет не более одной середины, и если относительно некоторого отрезка известно, что он имеет середину, то отсюда следует, что также и всякий меньший отрезок имеет середину (§25 — § 26).

Чтобы судить о положении середины отрезка, нам нужны некоторые теоремы о соприкасающихся истинных окружностях; дело, прежде всего, сводится к построению двух конгруентных между собой окружностей, касающихся друг друга извне в одной и только в одной точке (§ 27). Далее мы выводим одну общую теорему о касающихся изнутри окружностях (§ 28) и затем теорему; относящуюся к тому частному случаю, когда окружность, касающаяся другой изнутри, проходит через центр этой последней (§ 29).

Теперь в основу дальнейших рассуждений кладётся в качестве единичного отрезка некоторый вполне определённый достаточно малый отрезок; путём деления пополам и полуоборотов строится система точек такого рода, что каждой точке этой системы оказывается сопоставленным вполне определённое число а, рациональное и имеющее в качестве знаменателя некоторую степень 2 (§ 30). После

17 Д. Гильберг
258

ДОБАВЛЕНИЕ IV

установления закона, определяющего это сопоставление (<j 31), точки полученной таким образом точечной системы оказываются упорядоченными, и при этом выявляется значение предыдущих теорем о соприкасающихся окружностях. •

Теперь удаётся доказать, что точки, соответствующие

числам сходятся к точке 0 (§ 33). Эта

теорема шаг за шагом обобщается, пока мы, наконец, не убеждаемся в том, что каждая последовательность точек нашей системы сходится, как только сходится соответствующая ей числовая последовательность (§ 34 — § 35).

После этой подготовительной работы удаётся определить истинную прямую как систему точек, которая получается из двух положенных в её основу точек, если последовательно находить середины, совершать полуобороты, и добавить к этому точки сгущения всех получающихся таким образом точек (§ 36). Затем можно показать, что истинная прямая является непрерывной кривой (§ 37), не имеет двойных точек (§ 38) и с любой другой истинной прямой имеет ие более одной общей точки (§ 39). Далее оказывается, что истинная прямая пересекает каждую окружность, описанную около любой её точки, а отсюда следует, что любые две точки плоскости можно соединить истинной прямой (§ 40). Мы убеждаемся также в том, что в нашей геометрии имеют место теоремы о конгруентности; однако при этом два треугольника оказываются конгруентными только в том случае, если они имеют также и одинаковое направление обхода (§ 41).
Предыдущая << 1 .. 74 75 76 77 78 79 < 80 > 81 82 83 84 85 86 .. 169 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed