Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гильберт Д. -> "Основания геометрии" -> 90

Основания геометрии - Гильберт Д.

Гильберт Д. Основания геометрии — ОГИЗ, 1948. — 492 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovaniyageometrii1948.djvu
Предыдущая << 1 .. 84 85 86 87 88 89 < 90 > 91 92 93 94 95 96 .. 169 >> Следующая

284

ДОБАВЛЕНИЕ IV

у, ш, периодическими относительно ш, с периодом, равным 2п.

Покажем теперь, что функции / и g непрерывны относительно х, у, ш. Положим для этого, что О — некоторая точка иа х; (i)j, шг, ш3, ...—бесконечная последовательность значений, сходящаяся к некоторому значению ш, и что Ти Тг, Т3, ...—бесконечная последовательность Точек нашей плоскости, сходящаяся к некоторой точке Т. Точки, получающиеся из О путём поворота на углы ш1, “21 шз> • • •» мы обозначим соответственно через Sv .S^, Sg, , а точки, которые получаются из точек Ти Т2, Ts, ... путём поворота соответственно на углы ШрО^.Юз, через Zj,Z2, Z3,... Наконец, точки, которые получаются из О и Т путём поворота на угол ш, мы обозначим соответственно через 5 и Z. Таким образом, вопрос сводится к доказательству того, что точки Zv Z2, Zs, ... сходятся к точке Z.

Так как точки Tv Т2, Г8, ... сходятся к точке Т, то можно определить жорданову область G, внутри которой находились бы все точки М, Т, Tv Т2, Те, ... Применим к этой жордановой области вращение вокруг точки М, перемещающее точку О в S. Жорданову область, получающуюся в результате этого поворота из области О, мы обозначим через Н; эта область заведомо содержит точки /И и Z. Наконец, построим замкнутую жорданову кривую а, содержащую область Н целиком внутри, т. е. охватывающую эту область так, что ни одна из её точек не лежит внутри Н или на её границе.

Покажем теперь, что из точек Z„ Z2, Z3, ... вне кривой а может лежать только конечное число. Действительно, если бы бесконечное чисйо таких точек Z, , Z, .

I 17 I в»

Z,- , ... лежало вне а, можно было бы себе представить, что точки М и Т(| соединены некоторой жордановой кривой Ya> проходящей внутри области О, и далее применить к кривой Yft поворот на угол ш<л. Получившаяся таким образом кривая соединяет'точку М с точкой Z/h, а потому должна пересечь кривую а в какой-либо точке, например, в точке Bh; пусть Ah — та точка кривой ya, которую
ОВ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ

285

поворот на угол u>ih переводит в точку Bh. Так как тачки Лр Л2, Лв, ... все лежат внутри области О, а точки 5j, В2, Ве, ... все лежат на кривой а, то должна существовать такая бесконечная последовательность индексов Ар А2, А3, ..., при которой точки ЛЙ1, Лйа, ЛАз, . . . сходились бы к точке Л, лежащей внутри области G или на её границе, и в то же время точки Вн,, Bhi, Вь3, ... сходились бы к точке В, лежащей на кривой а. Но мы знаем, что точки Sv S2, S3, ... сходятся к точке S; в таком случае, в силу аксиомы III, должен существовать поворот около точки М, переводящий одновременно и точку О в 5, и точку А в В. Однако это невозможно, так как при таком повороте точка Л должна перейти в точку, лежащую внутри области Н или на её границе, я точка В лежит иа кривой а, содержащей область Н целиком внутри.

Таким образом, мы убедились, что система точек Zv Z2, Z8, ... должна целиком лежать внутри некоторой жордановой области. .

Пусть Z* служит точкой сгущения для точек Zv Z2, Z8, ... Так как точки 5Р 52, 53,. . . сходятся к точке S, то, в силу аксиомы 111, существует поворот около точки М, при котором точка О переходит в S, а точка Т — в Z*. Но так как при повороте вокруг точки М, который точку О перемещает в S, точка .Т должна перейти в Z, то, в силу доказанной раньше однозначности функций / и ?, необходимо, чтобы Z* = Z, т. е. точки Zv Z2, Z8, ... сгущаются только в одной точке, а именно в точке Z. Таким образом, доказано, что функции / и g относительно переменных х, у, ш непрерывны.

Подставим теперь в функции / и g вместо х, у координаты некоторой точки Р нашей плоскости, лежащей внутри окружности х или вне её. У полученных таким образом функций /(ш), &(ш) одной только переменной <о общие периоды не могут быть сколь угодно малы. Действительно, так как функции /(ш), g(a>) непрерывны, то при нарушении этого условия они сводились бы к постов янным, и в таком случае при всех поворотах плоскости вокруг точки М точка Р оставалась бы на месте, что
286

ДОБАВЛЕНИЕ IV

противоречит аксиоме II. Наименьший общий период этих



двух функций должен быть вида — , где п — некоторое

целое положительное число. Отсюда следует, что мы получим истинную окружность, /проходящую через точку Р, если заставим переменную <о в формулах

* = /(“), y = g(*)



пробегать значения от 0 до —. Эта кривая замкнута

и не имеет двойных точек; она представляет собою истинную окружность с центром в точке М. Если мы повернём



теперь плоскость на угол —, то все точки этой истинной

окружности, проходящей через точку Р, останутся на месте и вместе с тем, согласно § 19, все точки плоскости должны остаться неподвижными; но точки истинной окружности х останутся при этом повороте на месте только в том случае, когда л=1. Тем самым мы доказали полностью все утверждения теоремы, формулированной в § 20.
Предыдущая << 1 .. 84 85 86 87 88 89 < 90 > 91 92 93 94 95 96 .. 169 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed