Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
ОВ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ 295
Окружность, описанная около точки 0 и проходящая через точку [черт. 102], полностью охватывает окруж-
1
ность, описанную около точки и проходящую через точку -1; хак как эта последняя охватывает окружность,
описанную около точки
1
g- и проходящую через
2 1
точку -3 = 4-, и окружность, описанную около 3
точки — и проходящую
4 1
через точку -g- = — , а эти последние охватывают окружности: описанную
около jg и проходящую
2 1
через j-g = -g-, описанную
3 4 1
около jg и проходящую через -j-, описанную около
.5 6 3 7
¦jg и проходящую через ^=— , описанную около ^ и
„81
проходящую через — = у и т. д., то мы приходим к выводу, что отрезок ^0, больше любого отрезка (0, а), где а — положительное рациональное число, знаменатель
о 1
которого есть степень 2, а значение которого меньше у.
Далее, окружность с центром в точке 0, проходящая
1 1
через -j, охватывает окружность с центром в точке -g-,
проходящую через = -i-. Эта последняя, со своей стороны, охватывает окружность, описанную около точки ~
296
ДОБАВЛЕНИЕ IV
2
и проходящую через ^0,и окружность, описанную около
3 4
jg и проходящую через эти же, в свою очередь, охва-
1
тывают меньшие окружности, описанные около точек ^ ,
3 5 7
32 ’ 3> ’ 32'и т' Д-’ отсюда мЫ заключаем, что отрезок (о, больше всех отрезков (0, а), где а — положительное рациональное число, знаменатель которого представляет собою некоторую степень 2 и значение которого 1
меньше -г •
4
Затем рассмотрим окружность с центром в точке О и проходящую через 4- ; она охватывает окружность, описан-
О
1 2 1
ную около jg и проходящую через ^ ; эта последняя,
в свою очередь, охватывает меньшую окружность, описан-
1 2
ную около и проходящую через ^ и т. д.; отсюда мы
заключаем, что отрезок ^0, j больше всех отрезков
(0, а), где а— положительное рациональное число, знаменатель которого является степенью 2 и значение Которого
меньше Продолжая дальше этот ход рассуждений, мы
придём к следующему выводу общего характера:
Если а — положительное рациональное число, знаменатель которого представляет собою некоторую степень
2 и значение которого меньше ~ , то отрезок (0, а)
2
всегда меньше отрезка ^0,-^).
§ 33. Теперь мы можем доказать одну за другой следующие леммы:
Точки, соответствующие числаму , сходятся к точке 0.
ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ
297
Если допустить противное, то, так как каждый из отрезков (о, i), (о, j), (о, ¦§¦). (о, 4)’ меньшепре-
1111
дыдущего, точки сгущения точек ^ ’ 7 ’ 8~ ’ Тб ’ ‘' П0‘ падут на некоторую определённую истинную окружность и с центром 0. Пусть, например, , .. .—после-
довательность точек, сходящихся к точке К на окружности х; пусть точки
__1__ __1___ _J____
2»! + 1 *1 2Лз ^ ’
имеют своей точкой сгущения точку К*. Из теоремы § 25 следует, что К* должно быть серединой отрезка ОК, а это заключение, в силу положения, доказанного в конце § 27, противоречит тому, что точка К* также должна лежать на окружности х.
§ 34. Пусть av а2, а9, . . . — положительные рациональные числа, знаменатели которых суть степени 2. Если при этом бесконечная числовая последовательность av а%, а3, ... сходится к точке 0, то последовательность точек, соответствующих этим числам, также сходится к точке 0.
Для доказательства выберем целые показатели пх, nv ns, ... так, чтобы
ai Tfi > <h <С . аз <С ^73»
111-
1 чтобы последовательность —- . —- ——, ... также схо-
2«i* 2 9 2
дилась к 0. Согласно доказанной в § 32 теореме, всякая точка at лежит внутри окружности, описанной около точки 0 и проходящей через точку ~; а в силу леммы, доказанной в § 33, окружности, описанные около точки 0 и проходящие через точки .. .^сходятся
к 0; отсюда немедленно следует утверждение, подлежащее доказательству.
298
ДОБАВЛЕНИЕ IV
§ 35. Наконец, имеет место следующая теорема:
Пусть ах, аъ ав, ... — бесконечная последовательность рациональных чисел, знаменатели которых суть степени 2, сходящаяся к некоторому действительному числу а; в таком случае соответствующие им точки flj, а2, а&, . . . также сходятся к некоторой точке.
