Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гильберт Д. -> "Основания геометрии" -> 98

Основания геометрии - Гильберт Д.

Гильберт Д. Основания геометрии — ОГИЗ, 1948. — 492 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovaniyageometrii1948.djvu
Предыдущая << 1 .. 92 93 94 95 96 97 < 98 > 99 100 101 102 103 104 .. 169 >> Следующая


x = x(a,v), y=y(u,v), z — z(u,v),

то эти последние для достаточно малых значений и и v будут также регулярными аналитическими функциями ни®.

Из теории поверхностей постоянной отрицательной кривизны, равной —1, известны следующие положения:

Если буквой <р мы обозначим угол между двумя асимптотическими линиями, проходящими через точку и, v, то для трёх коэффициентов первой основной квадратичной
О ПОВЕРХНОСТЯХ ПОСТОЯННОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ 307

формы мы получим следующие значения:

. .Ч?)Ч (?)’+(?)•=>•

.__I ^ V ду | дг дг _

* ди dv ди dv ' ди dv С S ^

в= (й) + (з?) + (й) =

и, следовательно, квадрат производной от длины дуги произвольной кривой, лежащей на этой поверхности, по какому-нибудь параметру t выразится так:

(«} =Ы+Зсм»агг+Ы • W

Угол .ср, рассматриваемый как функция от и и v, должен удовлетворять уравнению в частных производных.

ra;=sin<p*>- (3>

Если отказаться от однозначного отнесения каждой точке поверхности пары чисел и, V, то можно сделанное построение распространить на любые значения и, v. Вообще говоря, и-линия, проходящая через точку О, может оказаться замкнутой; но всё же, на основании предположения, сделанного нами относительно поверхности (стр. 305), на ней можно откладывать по обе стороны от точки О сколь угодно большие длины. Таким образом, каждому значению и соответствует точка на асимптотической линии.

*) Первоначально я доказал невозможность существования поверхности постоянной отрицательной кривизны, ие имеющей особых точек, иа осиовавив этой формулы (Transactions of the Ame-ricain Math. Society, т. 2, 1901). Затем Хольмгреи (E. Holmgren) дал более аиалвтическое доказательство того же факта, также опираясь иа формулу (3) (Comptes rendus, Paris, 1932). Приведённая здесь переработка доказательства Хольм-греиа примыкает к тому изложению этого доказательства, которое было дано В. Бляшке в его «Дифференциальной геометрии», т. 1, § 96. В связи с моим первоначальным доказательством см. также изложение Л. Бнбербаха (Acta mathematica, т.48).

20*
308

ДОБАВЛЕНИЕ V

В каждой такой точке Р рассмотрим проходящую через неё другую асимптотическую линию. На этой линии мы примем в качестве параметра v отсчитываемую от точки Р длину дуги (со знаком); снова по обе стороны от Р на асимптотической линии можно откладывать сколь угодно большие длины.

Каждой паре значений и, v соответствует, таким образом, однозначно — но, вообще говоря, отнюдь не взаимно однозначно — некоторая точка нашей поверхности. Итак, мы получили то, что на геометрическом языке называется отображением евклидовой плоскости (и, v) в целом на некоторую накрывающую поверхность нашей заданной поверхности или на её часть.

Теперь надо, прежде всего, показать, что каждая и-ли-ния нашей поверхности является асимптотической линией и что параметр и на этой линии представляет длину еб дуги.

Для линии г» = 0 мы это уже знаем. Далее, на основании формулы (2), дающей представление линейного элемента, это имеет место для кусков и-линий, которые принадлежат окрестности точки (и, 0).

Для общего доказательства достаточно убедиться в правильности следующего утверждения:

. Есла а — положительное число, а b — любое действительное число, то образ каждого отрезка

—-dS и a, v = b

представляет на нашей поверхности кусок асимптотической линии или последовательность её кусков, а параметр и при этом представляет длину дуги на этой линии.

Прн Ь = 0 эта теорема справедлива. Следует, далее, показать, что:

1) если эта теорема справедлива при Ь — Ь0, то она справедлива также и при любом Ь, достаточно мало отличающемся от Ь0\

2) если эта теорема справедлива для Ьг, то она справедлива также и при Ь = ЬХ и при Ь — Ьг.

Доказательство это получается путём использования непрерывности и применения теоремы Гейне-Бореля о конечном покрытии.
О ПОВЕРХНОСТЯХ ПОСТОЯННОЙ ГАУССОВОЙ КРЛВИЗНЫ 309

Итак, справедливость этой теоремы доказана для всех значений Ь. —

Пусть теперь <р = <р(и,г/) означает (как и на стр. 307) угол между двумя асимптотическими линиями, проходящими через точку поверхности [u,v), причём пусть этот угол отсчитывается от положительного и-направления к положительному г>-направленню. Эта функция <р (и, v) должна быть определена и непрерывна для всех значений и, v и обладать непрерывными частными производными, удовлетворяющими дифференциальному уравнению (3).

С помощью соответствующего выбора положительных и- и ©-направлений мы можем во всяком, случае достичь того, чтобы в точке u = v = 0 имели место неравенства:

0<?О и ^^0.

Так как <р нигде не равно ни 0, ни тт, то, вследствие непрерывности функции <f(u,v) для всех значений и, v, должны иметь место неравенства 0 ср (и, v) тг, а следовательно, и неравенство

sincp^>0.
Предыдущая << 1 .. 92 93 94 95 96 97 < 98 > 99 100 101 102 103 104 .. 169 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed