Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гильберт Д. -> "Основания геометрии" -> 102

Основания геометрии - Гильберт Д.

Гильберт Д. Основания геометрии — ОГИЗ, 1948. — 492 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovaniyageometrii1948.djvu
Предыдущая << 1 .. 96 97 98 99 100 101 < 102 > 103 104 105 106 107 108 .. 169 >> Следующая


Некоторые из аксиом I,_e, IV1_2 суть

следствия остальных, и, таким образом, возникает задача изучения независимости указанных аксиом. Эта задача даст возможность подойти к исследованию принципов арифметики с некоторой новой, плодотворной точки зрения. Мы, например, узнаём следующие факты:

Существование числа 0 (аксиома 13) есть следствие аксиом 1,,2 и И,; таким образом, оно существенно основывается на ассоциативном законе сложения.

Существование числа 1 (аксиома 1в) есть следствие аксиом 14 5 и Н8; таким образом, оно существенно основывается на ассоциативном законе умножения.

Коммутативный закон сложения (аксиома 112) является следствием аксиом 1, 1Ц, 5; таким образом, он оказы-

вается, по существу, следствием ассоциативного закона сложения и обоих дистрибутивных законов.

Доказательство. Мы имеем

(я —|— й) (1 - -J— 1) = (я —|— Ь) 1 —|— (я —|— Ь) 1 Я —(- Ь —(— Я —|— Ьу = я (1 —|— 1) —|— b (1 1) = а —(— а —(— b —|— Ь;

следовательно,

a-\-b-\-a-{-b — a-\-a-\-b-\-bt

а отсюда, в силу аксиомы 12,

b а= i-\- Ь.

Коммутативный закон умножения (акснома Нв) есть следствие аксиом 1, 111_Б, 111, IV,, но не является следствием одних только аксиом 1, И, _5, III; этот закон может быть выведен из всех остальных аксиом в том и только в том случае, когда к указанным аксиомам присоединена
320

ДОБАВЛЕНИЕ VI

ещё и аксиома Архимеда. Этот факт имеет особое значение для обоснования геометрии*).

Аксиома 1V2 не зависит от аксиомы IV,; ни одна из этих аксиом не содержит высказываний, касающихся понятия сходимости или существования границы, и всё же можно показать, что из них следует теорема Больцано о существовании точки сгущения. Тем самым мы убеждаемся в том, что наша числовая система совпадает с обычной системой действительных чисел.

В доказательстве непротиворечивости**) установленных аксиом я усматриваю вместе с тем и доказательство существования совокупности действительных чисел или — употребляя способ выражения Кантора — доказательство того, что система действительных чисел является «консистентным» (готовым) множеством.

Соображения, которые были высказаны против существования совокупности всех действительных чисел и бесконечных множеств вообще, теряют при такой точке зрения всякое основание: под множеством действительных чисел мы должны, согласно этой точке зрения, понимать не совокупность всевозможных законов, которым будут следовать элементы фундаментальных последовательностей, а скорее, — как это было изложено выше, — систему вещей, взаимоотношения которых задаются с помощью ранее указанной конечной и замкнутой системы аксиом

I—IV и относительно которых новые утверждения справедливы только в том случае, если эти утверждения можно вывести с помощью конечного числа умозаключений из этих аксиом.

Если мы' захотим получить таким же способом доказательство существования совокупности всех мощностей (или всех канторовских алефов), то эта попытка будет обре-

*) См гл. VI.

**) Это доказательство требует существенно новых методов рассуждений и служит главной темой моей новой теории доказательства (см. приложения VIII—X); поэтому замечание, заменявшее их в первоначальном тексте предыдущих изданий, здесь опущено.
О ПОНЯТИИ ЧИСЛА

321

чена на неудачу; действительно, совокупность всех мощностей не существует, или, — употребляя способ выражения Кантора, — система всех мощностей является «неконсистентным» (неготовым) множеством*).

Геттинген, 12-е октября 1899 г

*) См. появившиеся за это время остроумные работы Ц е р-мело: Е. Zermelo «Beweise ftir die M6glichkeit einer Wohl-ordnung», Math. Ann., т. 59 (1904) и т. 65 (1907), а также «Ueber die Grundlagen der Mengenlehre>, Math Айн., т. 65(1907).

21 Д. Гильберт
ДОБАВЛЕНИЕ VII

ОБ ОСНОВАНИЯХ ЛОГИКИ И АРИФМЕТИКИ»)

(Из трудов 111 Интернационального математического конгресса в Гейдельберге в 1904 г.)

В то время как в исследованиях, относящихся к обоснованию геометрии, мы сегодня в оснонном придерживаемся одинаковых взглядов относительно выбора пути и поставленных себе целей, с вопросом об обосновании арифметики обстоит совершенно иначе: здесь различные мнения исследователей резко противостоят друг другу.

Трудности, встречающиеся при обосновании арифметики, частично действительно отличаются от теХ трудностей, которые надо было преодолеть при обосновании геометрии. При исследовании основ геометрии можно было обойти некоторые трудности чисто арифметической природы; но при обосновании арифметики ссылка на другую основную дисциплину становится уже недопустимой. Я смогу с большей чёткостью выявить те существенные, трудности, которые встречаются при обосновании арифметики, если я подвергну краткому критическому разбору взгляды отдельных исследователей.

*) Хотя этот доклад по своему содержанию н был перекрыт моими более новыми нсследоваииями по обоснованиям математики (приложения VIII—X), всё же мне показалось полезным снова поместить его здесь, особенно потому, что я в этом докладе впервые изложил многие концепции и методы исследования, как, например, требование непротиворечивости, самостоятельное рассмотрение множества как вещи «тенденцию к конечной установке, совместное рассмотрение логики и арифметики.
Предыдущая << 1 .. 96 97 98 99 100 101 < 102 > 103 104 105 106 107 108 .. 169 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed