Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
316
ДОБАВЛЕНИЕ VI
Существенно иначе поступают прн построении геометрии. Здесь обычно исходят нз предположения о существовании всех элементов, т. е. заранее предполагают, что существуют трн системы вещей, а именно, точки, прямые и плоскости, и затем, в существенном по примеру Е-вклида, устанавливают между этими элементами взаимоотношения посредством известных аксиом, а именно аксиом соединения, порядка, конгруентности и непрерывности. При этом возникает необходимость в доказательстве непротиворечивости н полноты этой системы аксиом, т. е. требуется доказать, что применение установленных аксном никогда не приведёт к противоречию и, далее, что эта система аксиом достаточна для доказательства всех геометрических теорем. Избранный здесь способ исследования мы будем называть аксиоматическим методом.
Поставим себе вопрос, действительно ли для изучения понятия числа единственно подходящим методом является генетический метод, а для обоснования геометрии — аксиоматический метод. Представляет также интерес сопоставить друг с другом оба метода н исследовать вопрос о том, какой из этих методов надо будет предпочесть, когда будет нтти речь о логическом исследовании основ механики или. какой-либо другой физической дисциплины.
Моё мнение таково: 'несмотря на то, что генетический метод имеет высокое педагогическое и эвристическое значение, всё же для окончательного оформления н полного" логического обоснования содержания: нашего познания предпочтительнее аксиоматический метод.
В теории понятия о числе аксиоматический метод представляется следующим образом:
Мы мыслим систему вещей; эти вещи мы называем числами н обозначаем буквами й, Ь, с,... Мы считаем, что между этими вещами существуют вполне определённые взаимоотношения, полное н точное описание которых даётся следующими аксиомами:
О ПОНЯТИИ ЧИСЛА
317
I. Аксиомы соединения
. 11. Из числа а и числа Ь при помощи «сложения» получается некоторое вполне определённое число с, что обозначается так:
а -|- Ь = с или с — а -|- Ь.
12. Для любых двух данных чисел а и Ь существует одно и только одно число х, для которого
а -\-х = Ь,
а также одно н только одно число у, для которого
у -j- а = Ь.
13. Существует некоторое вполне определённое число— его называют 0 — такое, что для любого а как
CL —|— 0 Д,
так и
О я = Д.
14. Из числа я и числа Ь получается некоторым другим способом, посредством «умножения», некоторое определённое число с, что обозначается так:
ab = c или с =- ab.
16. Для любых двух чисел а и Ь, причём число а не
О, существует одно и только одно число х, для которого
ах = Ь,
и одно и только одно число у, для которого
уа — Ь.
1в. Существует некоторое вполне определённое число — его называют 1, — такое, что для любого а как
а-1 =а,
так и
1. а = а.
318
ДОБАВЛЕНИЕ VI
II. Вычислительные аксиомы
Для любых чисел а, Ь, с имеют место следующие равенства:
Hi. a-\-(b-\-c) — (а-\-Ь)-\- с,
П2. а Ь Ь —|— (iy
II3; a(bc) = (ab)c,
Н4. а (Ь -|- с) = ab ас,
Ilg. (а —Ь) с = ас —|— bct
IIe. ab = Ьа.
III. Аксиомы порядка
Illj. Из любых двух отличных друг от друга чисел а и Ь всегда одно определённое число (например а) больше (^>) другого; про это последнее говорят, что оно меньше первого. Это обозначается так:
а~^>Ь или Ь<^а.
Ни для какого числа а не может иметь место соотношение а^>я.
Ш2. Если а b и Ь^>с, то я^>с.
Ш3. Если а Ь, то
a “j- с *^> b —смс а с —|— b.
Ш4. Если а Ь и с 0, то
ас~^>Ьс и ca~^>cb.
IV. Аксиомы непрерывности
IV!. (Аксиома Архимеда.) Пусть а > 0 и 6 О — любые два числа; в таком случае всегда можно число а повторить слагаемым столь большое число раз, чтобы
образовавшаяся в результате сумма обладала следующим
свойством:
а “|~ а —|— а —|— . ¦. ~ J-- а b•
IV2. (Аксиома полноты.) К системе чисел невозможно присоединить никакой другой системы вещей так, чтобы в системе, образовавшейся в результате этого при-
О ПОНЯТИИ ЧИСЛА
319
соединения, при сохранении прежних соотношений между числами, выполнялись бы все аксиомы 1, И, 111, IV,; короче, числа образуют такую систему вещей, которая при сохранении всех взаимоотношений и всех указанных аксиом не поддаётся никакому расширению.
В аксиоме IV, мы предполагали известным понятие ко ечной совокупности.
