Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть теперь максимум большего из обоих главных радиусов кривизны нашей поверхности 1; в таком случае мы предположим,, что, вопреки нашему утверждению, внутри этого куска поверхности существует точка О, в которой достигается этот максимум. Так как эта точка О омбилической заведомо быть не может и, кроме того, является
*) GOttinger Nachrichten, 1899, стр. 44. Сравни также интересные работы того же автора в Math. Ann., т. 53 и 54.
**) Г. Люткемейеру в его диссертации, цитированной на етр. 305, и Е. Хольмгреву в Math. Ann., т. 57 удалось доказать аналитический характер поверхностей постоянной положительной кривизны.
О ПОВЕРХНОСТЯХ ПОСТОЯННОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ 313
регулярной точкой нашей поверхности, то окрестность этой точки будет покрыта каждым из семейств линий кривизны однократно и без пробелов. Еслн мы примем линии кривизны за координатные линии, а самую точку О — за начало этой координатной системы, то, как известно из теории поверхности постоянной положительной кривизны, будут справедливы следующие положения *):
Пусть г, означает больший из главных радиусов кривизны точки (a, v), лежащей в окрестности начала координат О = (0,0); в этой окрестности имеем rx 1. Положим
положительная действительная величина р, рассматриваемая как функция а и v, удовлетворяет следующему уравнению в частных производных:
д2р . д2р е~2? — е2? .
ди?' dv2 4 ‘
Так как с уменьшением г, функция р возрастает, то она, будучи рассматриваема как функция переменных а и®, должна в точке а = 0, г>=0 иметь наименьшее значение, а потому разложение р в степенной ряд цо а и v должно иметь вид:
р = а -)- аи2 2рuv -|- у®2 _|_ • • •,
где а, а, [5, у СУТЬ некоторые константы, причём квадратичная форма
аа2 2$uv -f уя2
ни при каких действительных значениях и и v не принимает отрицательного значения. Из этого последнего обстоятельства для постоянных величин а и у вытекают следующие неравенства:
а 0 и у > 0. (5)
Подставим, с другой стороны, разложение р в дифференциальное уравнение (4); в таком случае при а = 0 и
*) Darboux, <Lecons sur la th?orie g6n?rale des surfaces», T.3, № 77b; В i an с hi, <Lezioni di geometria differenziale», §264.
314
ДОБАВЛЕНИЕ V
v = О мы получим:
2(a + Y).-—
Так как постоянная а совпадает со значением р в точке О = (0, 0) и, стало быть, эта постоянная положительна, то выражение, стоящее в правой части этого равенства, во всяком случае <^0; поэтому из этого равенства вытекает, что
а + у<0,
что противоречит неравенствам (5). Итак, мы убедились в несостоятельности нашего предположения, согласно которому точка, в которой достигается максимум ббльшего из радиусов кривизны, лежит внутри рассматриваемого куска поверхности; тем самым справедливость высказанной выше теоремы доказана.
Отсюда, как уже было упомянуто, непосредственно следует теорема о том, что замкнутая, не имеющая никаких особенностей поверхность с положительной постоянной кривизной, равной 1, есть сфера радиуса 1. Этот результат указывает вместе с тем на то, что сферу нельзя изгибать как целое без того, чтобы на ней не возникла какая-либо особенность.
Наконец, для незамкнутой поверхности эти исследования приводят к следующему результату: если вырезать из сферы произвольный кусок и затем этот кусок как угодно изогнуть, то максимум большего из двух главных радиусов кривизны, полученных таким образом, всегда будет лежать на.границе этого куска поверхности.
Геттинген, 1900.
ДОБАВЛЕНИЕ VI-
о понятии ЧИСЛА
(Перепечатано из Jahresbericht der Deutschen Mathemati-
ker-Vereimgung, т. 8, 1900, с пропуском одной теоремы
в конце этой статьи)
Просматривая и сравнивая между собою многочисленные работы, посвящённые принципам арифметики и аксиомам геометрии, мы, наряду с многочисленными аналогиями и случаями сходства между этими двумя предметами, замечаем, однако, и существенное различие в отношении м е-т о д а исследования.
Припомним сначала, каким путём вводится понятие числа. Исходя из числа 1, обычно представляют себе, что в процессе счёта возникают следующие за ним целые рациональные положительные числа 2, 3, 4, ... и развиваются законы счёта с ними; затем приходят, опираясь на требование выполнимости вычитания во всех случаях, к отрицательным числам; далее определяют дробные числа как пары чисел; в результате каждая линейная функция имеет корень, и, наконец, определяют действительное число как сечение или как фундаментальную последовательность, в силу чего всякая рациональная меняющая знак функция и вообще всякая непрерывная меняющая знак функция обращается где-либо в нуль. Этот метод введения понятия числа мы можем назвать генетическим методом, так как наиболее общее понятие действительного числа развивается в нём из простого понятия о числе путём последовательных обобщений.
