Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Одаако функции tp(a, v), обладающей этими свойствами, не существует.
Действительно, из дифференциального уравнения
¦5—3- = Sin <0 ди ov т
следует, что 0, н, следовательно, функция^- при
увеличении v растёт.
В частности,
|(0,1)>|(0,0)й0,
а потому можно найти такое положительное число а, для которого при 0 S и 5S За имело бы место неравенство
д? I.. 14 \ п
310
ДОБАВЛЕНИЕ V
Пусть т означает положительный минимум функции (и, 1) при 0 5S tt rs; За.
В таком случае, при г/25 1:
<pla,v) — tp(0»= )
1\ Г(0<в<1)
и аналогично
<р (За, v) — <р (2а, v) т-а;
таким образом,
<р (a, v) <р (0, v) -j- т • а /и* а,
<р(2а,®)<; <р(3а,г/) — т-а<^тт — т-а.
Далее, при 0S«S3a,v^>l имеем:
(».!)> 0;
таким образом, <p(u,v) растёт монотонно вместе с и. Поэтому при
aSuS 2a, v 1:
0 т • а ср (a, v) S <р (и, v) ^ ср (2а, v) тг — /и • а,
и, следовательно,
sin <р (и, г/) sin (m-a)=Af, где Af>0 и не зависит от и, v.
Вследствие этого величина двойного интеграла
^ sin ср (и, v) du dv, распространённого на прямоугольник с вершинами (a, 1), (2а, 1), (2а,V), (a,V), (V> 1),
больше M-a(V—1), и при надлежащем выборе V может быть сделана больше п.
С другой стороны, из дифференциального уравнения (3) получается, что
2 а V
А.-Г f-^L
J$sin<pA,*, = $ J wyvdudv =
а 1
— ('-Р (2e, V)— <p(a, V)) — (y(2a, 1) — ^, 1))<тг,
О ПОВЕИСНОСТЯХ ПОСТОЯННОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ 311
так как
<р(2з, V0 — <р(а, У)<<р(2», V)<n
<р(2 а, 1) —1)>0.
Мы пришли, таким образом, к противоречию и потому мы вынуждены отвергнуть принятое нами вначале предположение, т. е. мы убеждаемся в том, что не существует аналитической поверхности постоянной отрицательной кривизны, не имеющей нигде особенностей и повсюду регулярной. Поэтому, в частности, на поставленный в начале статьи вопрос о том, можно ли по способу Бельтрами осуществить в евклидовом' пространстве на некоторой регулярной аналитическЬй поверхности всю плоскость Л о бачевского, надо ответить отрицательно.
О поверхностях постоянной положительной кривизны *)
В начале этого исследования мы исходили из вопроса о поверхности постоянной отрицательной кривизны, которая в конечном повсюду была бы регулярно аналитической, и пришли к выводу, что подобной поверхности не существует. Мы хотим теперь с помощью соответствующего метода исследовать аналогичный вопрос для замкнутой, не имеющей особенностей поверхности постоянной положительной кривизны. Очевидно, сфера есть замкнутая поверхность постоянной положительной кривизны и без особенностей. Согласно доказательству, проведённому, по моему предло-
*) Вопрос о том, можно лн осуществить эллиптическую неевклидову геометрию с помощью точек повсюду непрерывно искривлённой поверхности, по моему предложению исследован
В. Бой: W. В о у, <Ueber die Curvatura integra und die Topo-logie eeschlossener Flachen», Inauguraldissertation, G6ttingfen, 1901 и Matn. Ann., т. 57, 1903. В. Бой построил в этой работе топологически очень интересную, целиком лежащую в конечном, одностороннюю замкнутую поверхность, которая, если отвлечься от одной замкнутой двойной кривой с тройной особой точкой, в которой пересекаются полости поверхности, ие имеет никаких других особенностей и-обладает связностью неевклидовой эллиптической плоскости.
312
ДОБАВЛЕНИЕ V
жению, X. Либманном*), не существует никакой другой замкнутой поверхности, обладающей этим свойством. Это положение мы хотим получить как следствие из теоремы, которая справедлива для любого, не имеющего особенностей куска поверхности постоянной положительной кривизны**); она состоит в следующем:
Пусть на поверхности с постоянной положительной кривизной -)- 1 выделена одно- или многосвязная ограниченная область без особых точек', представим себе, что в каждой точке этой области, а также на её границах построены главные радиусы кривизны поверхности; в таком случае больший из главных радиусов кривизны не достигает своего максимума и, следовательно, меньший — своего минимума ни в одной внутренней точке области, если только наша поверхность не представляет собою сферы с радиусом, равным 1.
Для доказательства вспомним сначала, что, в силу нашего предположения, произведение обоих главных радиусов кривизны повсюду =1, а потому ббльший из главных радиусов кривизны должен быть ^ 1. Отсюда непосредственно следует, что максимум большего из главных радиусов кривизны = 1 только в том случае, когда оба радиуса кривизны в каждой точке рассматриваемого, нами куска поверхности = 1. В этом особом случае каждая точка этого куска поверхности есть омбилическая точка, и отсюда можно, как известно, заключить, что рассматриваемый кусок- поверхности принадлежит сфере радиуса 1.
