Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Четвёртая группа аксиом состоит из единственной аксиомы, именно, аксиомы параллельности. Её присоединение превращает нашу геометрию в евклидову; напротив, отрицание этой аксиомы приводит нас к геометрии Лобачевского.
АКСИОМЫ НЕПРЕРЫВНОСТИ И НЕАРХИМЕДОВА ГЕОМЕТРИЯ
Совершенно особое положение занимают аксиомы
V группы (аксиомы непрерывности), завершающие список аксиом. В первом издании в этой группе имелась лишь одна аксиома, именно Vlt известная аксиома Архимеда («откладывая достаточное число раз отрезок, конгруентный данному, можно превзойти любой наперёд заданный отрезок»).
28
П. К. РАШЕВСКИЙ
Может показаться странным, что сначала Гильберт не обратил внимания на недостаточность этих аксиом для построения евклидовой геометрии в обычном смысле слова. Действительно, возьмём обычное евклидово пространство, отнесённое к прямоугольным декартовым координатам х, у, г, и выкинем из него все точки, кроме тех, для которых все три координаты х, у и г суть алгебраические числа. Не представит труда проверить, что в таком «изрешечённом» пространстве сохраняют свою силу все аксиомы Гильберта, а между тем пространство будет неполным.
Этот пробел в аксиоматике был указан Гильберту некоторыми авторами (Пуанкаре, 1902), после чего во второе издание «Оснований геометрии» была введена ещё одна аксиома: аксиома полноты V2 (в последнем издании она формулирована в несколько упрощённом виде, как аксиома линейной полноты).
Такое, казалось бы, странное явление, как пропуск аксиомы полноты в первом издании, находит себе объяснение, еслн ознакомиться с содержанием книги в целом. Дело в том, что, по существу, центральной идеей книги Гильберта является развитие геометрии независимо от аксиом непрерывности. И0ЭТ0МУ отсутствие аксиомы полноты не приводило к фактическим ошибкам или пробелам в доказательствах; после введения этой аксиомы она остаётся мертворождённой и нигде в изложении не применяется.
Сама формулировка аксиомы полноты весьма искусственна и сразу обличает её цель — придать системе аксиом формальную законченность, заполнить те «скважины» в пространстве, которые возможны, как было указано выше, если ограничиться предыдущими аксиомами. А именно, постулируется, что совокупность точек, прямых и плоскостей нельзя дополнить новыми элементами так, чтобы в расширенной совокупности попрежнему имели место все предыдущие аксиомы и чтобы отношения «принадлежит», «между», «конгруентен» в применении к старым объектам имели прежний смысл.
Эта формулировка в последнем издании несколько сужена (аксиома линейной полноты), но основная ндея её остаётся той же. Как очевидно, эта идея заключается в том,
«ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ» ГИЛЬБЕРТА
29
что, грубо говоря, запрещается рассматривать пространство неполное, пространство, из которого выкинута часть точек, прямых и плоскостей. А именно эту возможность и требовалось устранить.
Мы уже упоминали, что аксиомы непрерывности занимают совсем особое место в аксиоматике Гильберта; они являются её пасынками, без них автор охотно обходится: без аксиомы полноты — всегда, без аксиомы Архимеда — большей частью. Мы должны здесь ближе рассмотреть весьма глубокие причины этого явления.
Если ограничиться аксиомами I—IV, то весьма характерным явлением для аксиоматики Гильберта будет фактическое отсутствие понятия о бесконечном множестве. Правда, сам автор часто даёт формулировки, которые естественно понять в смысле теории множеств. Например, начало изложения: «Мы мыслим три различные системы вещей...» естественно понять так, что рассматриваются три какнх-то множества. Однако такого рода формулировки остаются, по существу, в области деклараций, а фактическое изложение идёт мимо них. В самом деле, присмотримся ближе к характеру изложения' с этой точки зрения. Прежде всего, очень важно, что Гильберт отказался от понимания прямых и плоскостей как составленных из точек бесконечных множеств, а ввёл прямую и плоскость как самостоятельные основные понятия. А в таком случае в формулировке любой аксиомы и в доказательстве любой элементарно геометрической теоремы фигурирует, очевидно, лишь конечное число точек (равно как прямых и плоскостей), и понятие о бесконечном множестве остаётся праздным. В частности, нет никакой надобности мыслить, например, множество всех точек на прямой, на плоскости, в пространстве (такое множество необходимо было бы бесконечным). Нн в одной из аксиом множества такого рода не фигурируют. Если же в каком-нибудь предложении утверждается существование (нли несуществование) точки с такнм-то свойством (например, точки, лежащей между двумя данными), то это нужно понимать непосредственно в смысле разрешения (нли запрещения) рассматривать точку с данным свой-
30
П. К. РАШЕВСКИЙ
ством. Совершенно необязательно представлять себе при этом множество всех точек, в котором, как элемент, существует (нлн не существует) точка с данным, свойством.
Точно так же, рассматривая, напрнмер, разбиение прямой на две полупрямые посредством взятой на ней точки О, нЪт надобности говорить о разбиении на две части. множества всех точек на прямой (кроме О). По существу, речь идёт о том, что, строя в процессе наших рассуждений точки на прямой, мы про каждые две из них А, В можем сказать, лежат ли оии на разных полупрямых, определяемых О (когда О лежит между А, В), или на одной полупрямой (когда О между А и В не лежит). Другими словами, разбиение на два класса осуществляется для всех точек, фактически встречающихся в наших рассуждениях, как бы далеко мы их ни продолжали;-и этого для нас достаточно. Но таких точек будет всегда лишь конечное число, н понятие о бесконечной совокупности всех точек прямой снова остаётся излишним.
