Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Подлинное развитие вопроса об основаниях геометрии пошло не по прямому пути логического уточнения аксиоматики и доказательств Евклида, а осуществилось причудливым образом через длинный ряд попыток исправить Евклида там, где он был совершенно прав. Мы имеем в виду историю V постулата Евклида.
«ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ* ГИЛЬБЕРТА
15
V ПОСТУЛАТ ЕВКЛИДА И ОТКРЫТИЕ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ ¦»
Последний, V постулат Евклида гласит: «всякий раз. когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше 2d, эти прямые пересекаются и притом с той стороны, с которой эта сумма меньше 2й?». Постулат этот играет особую роль в системе Евклида: он
находит себе применение сравнительно поздно, и 28 первых предложений Евклида доказываются без его участия. Это обстоятельство, естественно, наталкивало на мысль, что, быть может, и вообще этот постулат излишен и сам может быть доказан в качестве теоремы. И действительно, многие комментаторы Евклида на протяжении более двух тысячелетий пытались такое доказательство дать, часто считая свою цель достигнутой (а некоторые Малообразованные дилетанты продолжают эти попытки и сейчас).
Все эти доказательства с нашей современной точки зрения ложны и сводятся к тоМу, что вместо V постулата принимается без доказательства какое-нибудь предложение, ему эквивалентное. Таковы, например, предложения: перпендикуляр и наклонная в сторону острого угла вей время сближаются между собой; через каждую точку внутри угла проходит по меньшей мере одна прямая, пересекающая его обе стороны; непересекающиеся прямые в плоскости не могут неограниченно удаляться друг от друга; не существует абсолютной единицы длины, т. е. отрезка, который отличается от отрезков другой длины особыми геометрическими свойствами (наподобие прямого угла среди всевозможных углов); существуют по меньшей мере два подобных треугольника и т. д.
Расценивая какое-нибудь из этих предложений как очевидно верное и обнаружив, что отрицание V постулата ему противоречит, автор доказательства считал свою цель достигнутой. Было бы, однако, неправильным считать, что здесь мы встречаемся обязательно с элементарно грубой логической ошибкой. В самом деле, до появления современного аксиоматического изложения геометрии — что
16
П. К. РАШЕВСКИЙ
было достигнуто лишь к концу XIX века — вообще не было вполне отчётливого критерия, чтобы отличать строгие доказательства в геометрии' от нестрогих. Во всех вообще доказательствах непрестанно допускались ссылки на наглядность, и те пределы, в каких эти ссылки можно было считать законными, очерчены не были. Поэтому в известной мере каждый из авторов, доказывавших V постулат, мог претендовать, что его допущения законны, и V постулат им доказан. Лишь теперь выступает несостоятельность всех этих доказательств; раньше же она скорее угадывалась наиболее сильными умами, чем неопровержимым образом могла быть ими установлена.
Так или иначе, по мере накопления разнообразных
попыток доказательства, bcS более расширялся круг предложений, эквивалентных V постулату, часть из которых перечислена выше. Становилось ясно, что отрицанйе
V постулата влечёт за собой отрицание всех этих пред-
ложений, т. е. влечёт за собой иелый ряд невероятных, парадоксальных следствий, в которых, однако, никак не удавалось усмотреть прямого логического противоречия. В поисках этого противоречия уже в XVIII веке некоторыми учёными были довольно далеко развиты следствия из предположения, что V постулат неверен (Сак к ери, 1733; Ламберт, 1788). По существу это были уже элементы неевклидовой геометрии, что, однако, не доходило до сознания авторов этих работ*).
Уже в 1823 г. великий русский геометр Н. И. Лобачевский (1792—1856) ясно сознавал бесцельность попыток доказать постулат о параллельных **)'. Вскоре он пришёл к мысли, что отрицание V постулата вообще ни к какому противоречию не приводит и тем самым вызывает к -жизни новую, неевклидову геометрическую систему. Он первый выступил публично с систематическим изложением неевклидовой геометрии. 11 февраля 1826 г. в заседании Физико-математического отделения Казанского университета он
*) История V постулата изложена в 1 томе «Полного собрания сочинений Н. И. Лобачевского» в статье В. Ф. Кагана.
**) См. его соч. .Геометрия".
«ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ» ГИЛЬВЕРТА
17
изложил основы своего открытия, а в 1829 г. опубликовал в «Казанском вестнике» мемуар «О началах геометрии», содержащий обстоятельное изложение неевклидовой геометрии. Позже к неевклидовой геометрии пришёл И. Больай (1802—1860), опубликовавший свои результаты в 1832 г. Из переписки Гаусса (1777—1855), изданной лишь после его смерти, стало известно о набросках Гаусса по неевклидовой геометрии. Однако, опасаясь быть непонятым и осмеянным, он никогда не имел мужества публично заявить об этом. Н. И. Лобачевскому, не убоявшемуся опубликовать свои результаты в России (1826) и за границей (1840), принадлежит безусловный приоритет в открытии неевклидовой геометрии. Однако творец её остался при жизни непонятым. Лишь в шестидесятых годах работы Лобачевского вошли в математический обиход и явились поворотным пунктом, определившим в значительной мере весь стиль математического мышления XIX ВекЗ *).
