Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
2*
20
П. К. РАШЕВСКИЙ
ие определяется и не должно определяться. Всё, что на этот счет нужно знать, формулировано в аксиомах, как и должно быть при аксиоматическом построении геометрии.
Аксиомы принадлежности у Паша (сам Паш их не выделяет в особую группу, как было сделано позже Гильбертом) страдают одним недостатком: они чрезмерно
усложнены из-за рассмотрения кусков прямых и плоскостей вместо самих прямых и плоскостей. В остальном они выбраны удачно, и Гильберт, устранив этот недостаток, весьма близко их воспроизводит в своей I группе аксиом.
В числе первых 12 аксиом Паша помещены далее и те, которые позже были оформлены Гильбертом в виде
11 группы аксиом и названы аксиомами порядка. В формулировке этих аксиом заключается наибольшая заслуга Паша. Действительно, мы без труда представляем себе расположение точек на прямой линии, и наглядно для нас совершенно ясно, например, что если С лежит между А и D и В лежит между А и С, то В лежит между А и D. Но при аксиоматическом построении геометрии наглядность не должна применяться в доказательствах, и все такого рода предложения должны логически вытекать из некоторых из них, принятых за основные. Пашу действительно удалось выделить такие основные предложения и формулировать их в качестве аксиом. Сюда входит, например, только что формулированное предложение и несколько других того же характера; особняком стоит особенно важная аксиома, касающаяся расположения точек уже не на прямой, а на плоскости; она и сейчас известна под названием аксиомы Паша (у Гильбёрта это аксиома П4).
Однако Паш сильно преувеличил число аксиом, нужных для установления порядка точек; у Гильберта II группа аксиом гораздо скромнее по объёму. Правда, это достигнуто за счёт того, что для установления порядка точек на прямой привлекается плоская аксиома порядка (аксиома Паша); автономно же порядок точек на прямой у Гильберта установлен быть не может.
Сверх упомянутых 12 аксиом Паш даёт ещё 10 аксиом, относящихся к понятию конгруентности фигур (это соответствует 111 группе аксиом Гильберта). Эти аксиомы
<Г ОСНОВАН ИЯ ГЕОМЕТРИИ» ГИЛЬБЕРТА
21
чрезвычайно тяжеловесны по сравнению с тем минимумом, который необходим для логического вывода всех свойств конгруентности. Аксиома Архимеда, между прочим, включена в число этих аксиом (у Гильберта она входит в V группу).
В общем Паш подошёл очень близко к системе аксиом, достаточной для развития геометрии. Впрочем, его основная цель заключалась в другом: во включении метрической геометрии в проективную путём введения идеальных элементов. С этой точки зрения его исследования представляют интерес и сейчас.
Ряд работ, посвящённых основаниям геометрии, принадлежит, далее, итальянским учёным — Пеано и его ученикам. Исследование самого Пеано «Логически изложенные основания геометрии» (G. Peano, Principii di geometria logicamente esposti, 1889) посвящено сравнительно узкой задаче. У Пеано даны лишь аксиомы, соответствующие 1 и II группе аксиом Гильберта, т. е. аксиомы соединения и порядка.
Зато в этой ограниченной области Пеано, действительно, достиг логической отточенности изложения. Ученики Пеано, продолжая его работу, ограничивались аксиоматикой, главным образом, проективной геометрии. Мы остановимся поэтому лишь на одном исследовании Пиери «Элементарная геометрия как дедуктивная система» (М. Pieri, Della geometria elementare come sistema ipotetico dedut-tivo, 1899), непосредственно относящемся к нашей теме. Здесь Пиери предлагает своеобразно построенную аксиоматику евклидовой геометрии.
Повидимому, Пиери стремился свести к минимуму число основных понятий, т. е. таких понятий, которые вводятся без прямого определения и косвенно определяются всей системой аксиом. Таких понятий у Пиери лишь два: «точка» и «движение». Одна из аксиом (IV аксиома) Пиери утверждает, что каждое движение есть взаимно однозначное отображение совокупности точек в себя. Но это не есть ещё полное определение движения, так как остальные аксиомы накладывают на это понятие дополнительные ограничения. Так, например, аксиома VIII утверждает, что если а, Ьг с — различные точки и хоть одно из движений (не являющееся тождественным преобразо-
22
П. К. РАШЕВСКИЙ
ванием) оставляет их в покое, то всякое движение, оставляющее на месте а и Ь, оставляет на месте и с. Таким образом, не всякое взаимно однозначное отображение точек в точки будет движением.
Точки а, b, с, обладающие свойством, указанным в аксиоме VIII, называются прямолинейно расположенными. Исходя отсюда, Пиери даёт определение прямой линии, а вслед за этим и определение плоскости. А именно, плоскостью называется совокупность точек, получаемая таким образом. Берутся три точки а, Ь, с, не лежащие на одной прямой, и, например, а соединяется прямыми с точками прямой Ьс. Точки таких прямых по определению и образуют плоскость. В дальнейших аксиомах фигурируют уже понятия прямой и плоскости. Затем даётся крайне искусственное определение понятий «между», и в дальнейшем это понятие фигурирует в аксиомах. Сфера определяется как совокупность точек, получаемых из одной точки всевозможными движениями, оставляющими на месте некоторую другую точку.
