Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
«ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ» ГИЛЬВЕРТА
25
одна и только одна прямая, которой принадлежит каждая из этих точек (аксиомы I, и 1а) и т. д. Таким образом, некоторое отношение, которое возможно между точкой и прямой, точкой и плоскостью и которое мы выражаем термином «принадлежит», подчинено лишь тому требованию, что для него должны иметь место 8 аксиом I группы. Связывать же с этим отношением какие-либо другие идеи — в принципе излишне, по крайней мере, при аксиоматическом построении геометрии.
В этом смысле мы можем сказать, что I группа аксиом служит косвенным определением понятия «принадлежит». Гильберт в дальнейшем пользуется обычно терминологией «лежит на», «проходит через» и т. д. Разумеется, здесь нет никаких новых понятий, а только изменено словесное выражение прежнего понятия.
Итак, в 1 группе аксиом охарактеризовано наиболее фундаментальное понятие «принадлежит». При формулировке аксиом последующих групп это понятие предполагается уже установленным, так как существенно входит в самые формулировки.
Во II группе аксиом (стр. 58) речь идёт о некотором отношении, могущем иметь место для одной точки и двух других точек, принадлежащих одной и той же прямой. Это. отношение мы называем словом «между». Всё, что может потребоваться от понятия «между» при логическом развитии геометрии, исчерпывающе перечислено в 4 аксиомах II группы. Наглядное представление о точке, лежащей на прямой между двумя другими, может, следовательно, и не привлекаться без какого-либо принципиального ущерба для развёртывания геометрии. Важнейшую роль в этой группе аксиом играет аксиома Паша (П4), характеризующая свойства понятия «между» для отрезков, образующих треугольник (и не умещающихся, следовательно, на. одной прямой). Остальные три аксиомы относятся лишь к прямолинейному расположению точек и очень скромны по своему содержанию. Сами по себе оии недостаточны, чтобы охарактеризовать отношенне «между» даже для точек, расположенных на одной прямой. Они становятся достаточными для этой цели только с привлечением на по-
26
П. К. РАШЕВСКИЙ
мощь аксиомы Паша, а следовательно, плоскостных построений.
Интересно заметить, что сравнительно с первым изда-иием сочинения Гильберта эта группа аксиом значительно сокращена. Оказались лишними следующие имевшиеся в первом издании требования: между двумя данными точками всегда можно указать третью (теперь — теорема 3); из трёх данных точек на прямой по крайней мере одна лежит между двумя другими (теперь — теорема 4; но осталось требование, что не более одной — аксиома Н3); четыре точки на прямой всегда можно занумеровать так, что в каждой тройке из них точка с промежуточным номером лежит между двумя другими (теорема 5). Самым крупным упрощением здесь явилась возможность доказать и тем устранить из числа аксиом последнее утверждение. Это было сделано Муром в 1902 г.
На основе понятия «между», характеризуемого аксиомами II группы, вводятся уже посредством прямых определений понятия — отрезок, луч (полупрямая), угол и его внутренность (в книге угол вводится лишь после III группы аксиом, хотя его естественное место — после II группы).
При переходе к III группе аксиом (стр. 66) мы замечаем, что в самой их формулировке участвует уже понятие «между», так как речь идёт об отрезках и углах, а определения отрезка и угла содержат понятие «между». Таким образом, отношения «принадлежит» и «между» нужно предполагать уже установленными.
Аксиомы III группы имеют целью, формулировать те свойства отношения конгруентности, которые были бы достаточны для чисто логического вывода всех теорем, где отношения конгруентности фигурируют. Мы принимаем, следовательно, что один отрезок или угол может находиться к другому в определённом отношении, которое обозначается словом «конгруентен» и относительно которого известно только то, что оно подчиняется аксиомам III группы.
Вследствие этой точкй зрения мы не имеем права приписывать понятию конгруентности даже самых «очевидных» свойств (что всякий отрезок конгруентен самому себе;
«ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ» ГИЛЬБЕРТА
27
что если первый угол конгруентен второму, то второй конгруентен первому и т. д.), пока эти свойства не доказаны совершенно строгим образом на основании аксиом. Между прочим, второе из приведённых в скобках утверждений доказывается довольно поздно — оно вытекает лишь из теоремы 19. До тех пор нельзя считать, что = и §;? = ¦§[; а означает одно и то же.
Первые три аксиомы III группы относятся к конгруентности отрезков, четвёртая — к конгруентности углов; особенно крупную роль играет пятая аксиома, единственная устанавливающая связь между конгруеитностью отрезков и конгруеитностью углов.
В первом издании аксиомы конгруентности были формулированы излишне сильно. Некоторые из них позже удалось доказать, исходя из остальных. Сюда относятся следующие утверждения: существует не более одного отрезка, которому конгруентен данный отрезок и который отложен от данной точки по данному лучу (т. е. в аксиоме IHj ранее требовалось не только существование, но и единственность точки В’)', всякий отрезок конгруентен сам себе; два угла, конгруентные третьему, конгруентны между собой. Наибольшим упрощением здесь явилось удаление из числа аксиом последнего утверждения (теперь — теорема 19). Возможность доказать это утверждение была обнаружена Розенталем.
