Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Если этой цели удаётся достичь, то те положения геометрии, из которых все остальные можно вывести чисто логическим путём (без ссылок на геометрическую нагляд-
12
П. К. РЛШЕВСКИЙ
ность), называются аксиомами, а логически вытекающие из иих предложения—теоремами.
При этом, естественно, нужно стремиться к тому, чтобы количество аксиом было возможно меньшим и чтобы тем самым на долю формально логических умозаключений при построении геометрии выпадала наибольшая возможная работа. Действительно, такое положение вещей наилучшим образом выявляет весь объбм логических связей и освещает логическую структуру геометрии.
Резюмируем всё сказанное. Геометрия как физика изучает свойства протяжённости материальных тел. Её положения могут и должны быть проверяемы опытным путём; как все положения физики, они воспроизводят материальный мир лишь в абстракции и истинны поэтому лишь приближённо.
Геометрия как математика интересуется лишь логическими зависимостями между своими положениями, более точно, — занимается логическим выводом аз некоторого числа положений (аксиом) всех остальных. Об истинности предложений геометрии как математики можно говорить поэтому лишь условно, а именно в том смысле, что данное предложение действительно выводится из аксиом.
Мы видим, что эти две точки зрения на геометрию существенно различны и, как бы они ни соприкасались в области фактического материала, механизм развития геометрии в одном случае будет работать иначе, чем в другом. Так оно и происходит в действительности, хотя при этом геометрия как физика существенно опирается на логические схемы геометрии-математики, а геометрия-математика развивается в значительной степени под влиянием импульсов, идущих прямо или косвенно из области физики.
Было бы, конечно, совершенно неправильно понять это противопоставление в том смысле, что геометрия как физика занимается материальным миром, а геометрия как математика относится к области «чисто духовного» творчества. И содержание и форма человеческого мышления в конечном счёте целиком обусловлены материальным миром, и сами законы формальной логики лишь потому на-
«ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ» ГИЛЬБЕРТА
13
вязываются нашему сознанию с такой силой, что представляют собой отражение многократно повторенного материального опыта.
Отчётливое разграничение геометрии как физики и геометрии как математики — разумеется, не в порядке декларации, а в смысле фактической разработки той и другой — представляет собою крупное принципиальное достижение наукн конца XIX — начала XX века. Достижением это является в том смысле, что слитное существование обеих точек зрения, по существу чуждых друг другу, тормозило развитие и той и другой. Но разграничение это, сейчас почти очевидное, вовсе не было достигнуто коротким путём. Оно пришло лишь как итог длительного и сложного развития научной мысли, в котором видное место занимают «Основания геометрии» Гильберта. Сейчас в самых кратких чертах мы осветим некоторые моменты -этого развития, наиболее важные для наших целей.
«НАЧАЛА» ЕВКЛИДА
«Начала» Евклида (ок. 300 г. до н. э.) содержат систематическое изложение основ геометрии в том виде, в каком она сложилась к этому времени в итоге примерно трёх веков развития математики на греческой почве. С того и почти до нашего времени «Начала» считались образцом научно строгого стиля изложения; никто не находил поводов предпринять их коренную переработку, а наши школьные учебники и до сих пор в существенных чертах воспроизводят «Начала» Евклида.
Причина этого коренится в том исключительном мастерстве и совершенстве — конечно, с точки зрения науки того времени, — с каким было проведено Евклидом логическое развёртывание геометрии путём, как тогда казалось, строгого вывода последующих предложений из предшествующих. Конечно, было бы сильным преувеличением сказать, что Евклид стоял на выше охарактеризованной точке зрения аксиоматического построения геометрии. Но тенденция такого рода у него, несомненно, была. Действительно, в начале изложения помещены четырнадцать основных пред-
14
П. К. РАШЕВСКИЙ
ложеннй (пять из которых названы постулатами, а девять—• аксиомами), которые предпосылаются всему дальнейшему и кладутся в его основу. Однако этих предложений далеко не достаточно для развития геометрии чисто логическим путём, и в дальнейших доказательствах, наряду с подлинно логическими умозаключениями, Евклид постоянно прибегает к наглядному представлению. Многие из определений — и как раз самые основные,—даваемые Евклидом, совсем не являются определениями в логическом смысле, а являются лишь наглядными описаниями геометрических образов: например, «линия есть длина без ширины» и т. п. Из такого определения строго логически никаких следствий вывести нельзя, и оно служит лишь указанием для работы наглядного представления в последующих выводах.
Таким образом, в «Началах» нельзя усмотреть ещё ни принципиальной аксиоматической установки в современном смысле слова, ни, во всяком случае, её фактического осуществления. Но тенденция в этом направлении была и продолжала развиваться и в дальнейшем. Это можно видеть из работ многочисленных комментаторов Евклида, которые, не предлагая существенных переработок изложения, часто стремились его усовершенствовать, подводя под него более прочный фундамент. Эти попытки шли по линии увеличения числа аксиом, недостаточность которых для логического построения геометрии ощущалась. И до сих пор мы не знаем, какие именно аксиомы и постулаты бесспорно принадлежат Евклиду, а какие добавлены впоследствии. Однако эти попытки по сравнению с «Началами» не знаменовали собой новых, принципиально более высоких точек зрения и делались ощупью. Даже когда в них правильно угадывались те пробелы, которые следовало заполнить, они облекались в ту же логически несостоятельную форму.
