Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
В заключение следует выяснить, в каком отношении стоит эта теория площадей к традиционному материалу элементарной геометрии. Если мы откажемся от неархимедовой точки зрения, то отрезки мы сможем выражать числами, и всю предыдущую теорию сможем развить, рассматривая меру площади как число (вместо перемножения отрезков основания и высоты в треугольнике мы перемножаем числа, их выражающие). Однако это всё-таки не будет теория, обычно излагаемая в учебниках. Дело в том, что в- обычном изложении молчаливо предполагается, что каждому многоугольнику можио сопоставить положительное число так, чтобы конгруентныч многоугольникам сопоставлялись равные числа, чтобы составному многоугольнику сопоставлялась . сумма чисел, отвечающих его частям, и чтобы единичному квадрату была сопоставлена единица. Всё, это предполагается очевидным без всякого доказательства, а в дальнейшем, исследуется лишь, каковы в таком случае будут эти числа, и доказывается, что для треуголь-
«ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ» ГИЛЬБЕРТА
39
ника это будет обязательно полупроизведение основания на высоту, и т. д.
Теория же Гильберта, перенесённая в элементарную геометрию, показывает нам, что каждому многоугольнику действительно можно сопоставить положительное число с перечисленными свойствами. Говоря коротко, теория Гильберта показывает существование меры площади, а обычная теория — её единственность.
ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ. ГЛАВЫ ПЯТАЯ И ШЕСТАЯ: НЕАРХИМЕДОВА ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
В этих главах мы отказываемся от аксиом III группы, лишаемся, таким образом, понятия о конгруентности отрезков и углов и переходим тем самым, по существу, в область проективной геометрии. Более подробно на этом мы не останавливаемся, так как соответствующие пояснения даны в примечании [60] (стр. 459). Заметим только, что аксиомами непрерывности мы тоже ббльшей частью пользоваться не будем, так что можно сказать, что предметом исследования будет служить неархимедова проективная геометрия.
Правда, в буквальном смысле изложение Гильберта, правильнее было бы сказать, относится к неархимедовой афинной геометрии. Но если ввести в рассмотрение несобственные (бесконечно-удалённые) элементы, как это.сделано в примечании [60], то получается пространство, которое можно назвать неархимедовым проективным пространством, и всё изложение можно использовать в значительно более широком смысле. А именно, все построения, данные в тексте, можно рассматривать в неархимедовом проективном пространстве, из которого выкинута одна произвольно выбранная плоскость. Под параллелизмом прямых нужно понимать при этом их пересечение на этой плоскости.
Следует иметь в виду, что в примечании [60j построение неархимедова проективного пространства не закончено в том отношении, что не введены проективные отношения порядка. Но в главах V—VI отношения порядка играют вообще побочную роль.
40
П. К. РАШЕВСКИЙ
Задача, прежде всего разрешаемая в V главе, это — введение системы координат и вообще методов аналитической геометрии в неархимедовом проективном пространстве. Здесь нельзя использовать в качестве координат обыкновенные числа ввиду отсутствия аксиомы Архимеда; нельзя использовать и исчисление отрезков, построенное в главе III, так как оно опиралось на аксномы конгруентности. Но Гнльберт выходит из положения, строя новое исчисление отрезков без использования аксиом конгруентности, а, следовательно, чисто проективного характера. Объектами исчисления, как и в главе III, являются отрезки. Но если раньше отрезки брались совершенно произвольно расположенными, причём конгруентные между собой отрезки, как объекты исчисления, ие различались друг от друга, то теперь рассматриваются лишь отрезки, откладываемые от некоторой фиксированной точки О по двум фиксированным прямым, проходящим через неё. Отрезок, отложенный от О по одной из этих прямых, признаётся — как объект исчисления— равным отрезку, отложенному из О по другой из этих прямых, если прямая, соединяющая концы этих отрезков, параллельна некоторому фиксированному направлению.
На основе геометрических конструкций даётся определение суммы и произведения отрезков и доказывается, что построенное исчисление удовлетворяет всем требованиям 1—U5 § 13, кроме требования 12. Другими словами, совокупность наших отрезков можно рассматривать как, вообще говоря, некоммутативное упорядоченное поле. Такое поле Гильберт называет дезарговой числовой системой и кладёт в основу аналитической геометрии в неархимедовом проективном пространстве.
Сообразно целям главы V аналитическая геометрия строится в ней только для плоскости, хотя без каких-либо принципиальных затруднений аналогичное построение можно было бы выполнить и в пространстве.
Мы берём в плоскости какие-нибудь две прямые, проходящие через фиксированную точку О — это будут оси координат — и отмечаем каким-нибудь образом на каждой из них по точке, которые в исчислении отрезков будут использованы в качестве единичных точек Е и
«ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ» ГИЛЬБЕРТА
41
Радиус-вектор ОМ произвольной точки М мы обычным образом разлагаем на составляющие по осям. Если бы полученные отрезки мы могли выразить числами, то у нас получилась бы обыкновенная афинная система координат; но теперь вместо этого мы сами отрезки непосредственно делаем объектами исчисления, о котором выше уже говорилось.
