Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Система аксиом Пиери страдает недостатками в следующих отношениях. Стремясь к минимальному числу основных понятий, Пиери ради этого формального упрощения крайне усложнил свою систему по существу. Многие из его аксиом очень тяжеловесны. Например, аксиома XIV: « Если а, Ь и с суть точки, не лежащие на одной прямой, a dw е суть точки плоскости abc, отличные от с и принадлежащие двум сферам, проходящим через точку с и имеющим центры в точках а и Ь, то эти две точки due совпадают». Если попытаться свести эту формулировку к основным понятиям «1х>чка» и «движение», учитывая, что понятия плоскости и сферы даются прямыми определениями через основные понятия, то получится нечто неописуемо сложное. Чрезмерно уменьшив число основных понятий, Пиери был вынужден вводить изгнанные основные понятия («прямая», «плоскость», «между») посредством искусственных определений. Вследствие этрго не было выявлено естественное логическое расчленение аксиоматики по областям действия отдельных основных понятий, логические связи были даны в закутанном виде, и система приобрела весьма тяжеловесный вид.
«ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ» ГИЛЬБЕРТА
23
АКСИОМАТИКА ГИЛЬБЕРТА (I—IV ГРУППЫ АКСИОМ)
Как и работа Пиери, «Основания геометрии» Гильберта появились в первом издании в 1899 году (D. Hilbert, Grundlagen der Geometrie). Настоящий перевод сделан с седьмого издания 1930 г. За истекший значительный срок Гильберт внёс в свою аксиоматику ряд исправлений и уточнений, не меняя, однако, её характера в чём-либо существенном. Мы дадим здесь обзор его аксиоматики в её современном виде, указывая попутно, какие изменения произошли со времени первого издания.
Основная заслуга Гильберта, благодаря которой его труд на наших глазах становится классическим, заключается в следующем. Гильберту удалось сконструировать аксиоматику геометрии, расчлененную настолько естественным образом, что логическая структура геометрии становится совершенно прозрачной. Это расчленение аксиоматики позволяет, во-первых, формулировать аксиомы наиболее простым и кратким образом и, во-вторых, исследовать, как далеко можно развивать геометрию, если класть в её основу не всю аксиоматику, а те или иные группы аксиом, на которые естественным образом расчленяется аксиоматика. Такого рода логический анализ, выясняющий роль отдельных групп аксиом, действительно проведён Гильбертом-в ряде интересных исследований, которые и составляют, в сущности, большую часть его книги.
Кроме того, работа Гильберта дала толчок целому ряду дальнейших исследований в этом же направлении; о некоторых из них он упоминает в подстрочных примечаниях.
Сейчас мы займёмся самой аксиоматикой Гильберта, изложенной в 1 главе.
В системе Гильберта рассматриваются вещи трёх сортов: «точки», «прямые» и «плоскости», и трёх сортов отношения между вещами, выражаемые словами «принадлежит», «между» и «конгруентен». Это — основные понятия, и, строго говоря, в системе Гильберта изучаются только указанные вещи и указанные отношения между ними. Все остальные понятия вводятся посредством прямых определений на основе перечисленных шести основных понятий.
24
П. К. РАШЕВСКИЙ
Чтб же представляют собою эти основные понятия? -Мы уже “говорили о том, что геометрия как математика интересуется лишь чисто логическим выводом предложений геометрии из некоторого ограниченного их числа. Эти особо выделенные предложения принято называть аксиомами. Но если выводы из аксиом делаются исключительно по правилам формальной логики, то совершенно безразлично, что именно подразумевать под вещами («точка», «прямая», «плоскость») и под отношениями этих вещей («принадлежит», «между», «конгруентен»), лишь бы можно было считать, что аксиомы имеют место. В самом деле, формальная логика потому и носит эпитет «формальная», что её выводы справедливы в силу самой своей формы, независимо от того, чтб именно мы будем понимать, по существу, под теми вещами, о которых мы рассуждаем. Поэтому при аксиоматическом построении геометрии строго логически доказанная теорема остаётся верной, чтб бы мы ни понимали под «точками», «прямыми», «принадлежностью точки прямой» и т. д., если тольк<з остаются верными аксиомы, на которые мы опирались при доказательстве. В частности, ие обязательно связывать с точками, прямыми и т. д. обычные наглядные представления.
Итак, под гточкамаъ, «прямыми», «плоскостями» и под отношениями «принадлежит», tмежду*, <конгру-ентен» мы понимаем некоторые вещи и отношения, относительно которых известно только то, что они удовлетворяют аксиомам. Для этих вещей и отношений не даётся, следовательно, никаких прямых определений; но можно сказать, что система аксиом косвенным образом характеризует их в совокупности.
Первая группа аксиом (стр. 56) содержит 8 аксиом. Здесь перечислено всё то, что при построении геометрии нам нужно знать об отношениях «точка принадлежит прямой» и «точка принадлежит плоскости». Совершенно необязательно при этих словах представлять себе маленький шарик, насаженный на длинный стержень, и т. п., равно как необязательно вкладывать в эти слова вообще какой бы то ни было определённый смысл. Но зато обязательно знать, что если даны две различные точки, то существует
