Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Рассматривая аналогичным, образом шаг за шагом всё изложение, мы убеждаемся, что, по существу, везде речь идёт о конечных конструкциях, законы построения которых дают нам аксиомы. Ничто, по существу, не вынуждает нас прибегать к понятиям теории множеств.
Всё сказанное относится—- напоминаем — к аксиомам I—IV и той части геометрии, которая вытекает из них. Совсем иначе обстоит дело с аксиомами непрерывности V, и тут лежит пропасть, отделяющая их от предшествующих. Аксиомы непрерывности существенно предполагают понятие о бесконечном, множестве, без чего онн не могут быть формулированы. Действительно, в формулировке аксиомы полноты прямо говорится о множестве всех точек (в случае аксиомы линейной.полноты— о множестве всех точек на прямой). Теоретико-множественная точка зрения, в противоположность аксиомам I—IV групп, лежит здесь в самом фундаменте.
Но и более безобидная, казалось бы, аксиома Архимеда тоже предполагает понятие о бесконечном множестве. В самом деле, мы берём какой-то отрезок <40Aj и какой-
ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ» ГИЛЬБЕРТА
31
то отрезок ВйВу Мы начинаем затем строить на луче Л0А, последовательно точки А0, Аи А2, Аа, ... так, что АгА2, АгАв, Д3А4,... конгруентны А0Ау Мы утверждаем, что в построенной последовательности найдётся такая точка Ап, что отрезок АйАп превзойдёт В0Ву
В каждом отдельном случае нам понадобится, таким образом, лишь конечное число точек Л0, Аи ..., Ап. Но когда мы формулируем аксиому в общем виде, то мы должны охватить все возможные случаи, а среди них будут встречаться случаи со сколь угодно большими номерами п.
Следовательно, в общей формулировке аксиомы нам нельзя иметь в виду лишь часть последовательности А0, Аи Аъ Аа,..., а приходится брать эту бесконечную последовательность целиком и утверждать, что в ней находятся точки Ап с требуемым свойством А0Ап^> В0Вг. Мы не сможем, таким образом, формулировать аксиому Архимеда, не имея понятия о бесконечной последовательности.
Возникает вопрос — в каком смысле существенно, что аксиомы 1—IV, в противоположность аксиомам V, ие требуют теоретико-множественных понятий?
Развивая геометрию на основе аксиом 1—IV, мы можем опираться на законы формальной логики, применяя их только к фактически рассматриваемым в доказательствах всегда конечным, вполне обозримым конструкциям. Все рассуждения, благодаря этому, носят совершенно прозрачный характер, и у нас не возникает ни малейшего повода к каким-либо неясностям.
Напротив, принимая аксиомы V, мы вынуждены существенным образом иметь в поле зрения и бесконечные множества. И это вносит уже некоторую неясность принципиального характера: мы хотим обосновать геометрию, а между тем опираемся на теорию множеств, которая сама нуждается в обосновании, как и всякая математическая теория. Возникает необходимость расширить круг исследования, и во всяком случае та полная прозрачность, свойственная конечным конструкциям, теперь исчезает.
Мы не ставим себе целью входить более глубоко в эти вопросы, но и сказанное выясняет принципиальный харак-
32
П. К. РАШЕВСКИЙ
тер того осложнения в основах геометрии, которое вносится аксиомами непрерывности V, и V2.
Крупнейшим достижением Гильберта в области логического анализа геометрии явилось как раз то, что он обнаружил возможность развить геометрию во всём существенном, не пользуясь аксиомами непрерывности.
Геометрию, лишённую аксиом непрерывности, мы будем называть неархимедовой геометрией. Именно ей преимущественно и посвящена книга Гильберта, как мы убедимся из последующего обзора содержания*).
ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ КНИГИ. ГЛАВЫ ТРЕТЬЯ И ЧЕТВЁРТАЯ: НЕАРХИМЕДОВА МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Первая глава содержит аксиоматику, о которой мы уже говорили, а также ряд теорем, наиболее непосредственно вытекающих из аксиом. Необходимо обратить внимание читателя на всю важность овладения доказательствами этих теорем. Весьма нетрудно просмотреть и даже запомнить аксиомы гильбертовой системы, но это ничего не даст для математического развития, если не научиться фактически с этими аксиомами оперировать, т. е. строго логически доказывать теоремы на основании этих аксиом.
Изложение Гильберта от издания к изданию изменялось в сторону большей доступности и полноты. Однако и теперь в нём имеется большое количество пробелов в доказательствах, заполнить которые предоставляется читателю. Между тем, такое положение вещей сильно снижает педагогическую ценность книги. Дело не только в том, что некоторые из опущенных доказательств достаточно трудны. Ещё более важно другое: начинающий читатель, даже построив доказательство, вряд ли сможет вполне уверенно отдать себе отчёт, безукоризненно ли его доказательство с логической стороны, или в нём где-нибудь проскользнуло
*) Сам автор употребляет термин «неархимедова геометрия» обычно в несколько более узком смысле: в смысле такой геометрии, где аксиомы непрерывности не только не используются, но и заведомо неверны.
«ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ» ГИЛЬБЕРТА
