Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
33
допущение, заимствованное из наглядного представления. Поэтому редактор и переводчик поставили себе целью восполнить пробелы изложения посредством примечаний, которые приложены в конце книги (стр. 403—488). В результате можно считать, что доступность изложения приближается теперь к уровню учебника для университетов.
О второй главе сочинения Гильберта, которая посвящена логическим проблемам, возникающим в связи с аксиоматикой, мы скажем несколько позже, а сейчас переходим от первой главы прямо к третьей и четвёртой.
Уже те основные теоремы, которые доказываются в первой главе (теоремы 1—31), не зависят от аксиом непрерывности и относятся, таким образом, к неархнмедовой геометрии. Так же обстоит дело в главах третьей и четвёртой. Однако по сравнению с первой главой здесь имеется весьма существенное осложнение.
Целью третьей главы является введение понятия о пропорциональности отрезков и, в частности, обоснование теории подобия в неархимедовой геометрии', в четвёртой же главе строится неархимедова теория площадей. В обычном изложении эти задачи решаются путём привлечения в геометрию числа. А именно, каждой паре отрезков АВ, CD хорошо известным способом относится действительное число, выражающее их отношение. Поделив один отрезок, например АВ, на я равных частей, мы откладываем отрезок
АВ '
— последовательно до тех пор,. пока не получйм отрезка,
превосходящего CD. Пусть это случится впервые, когда
отрезок отложен m —j— 1 раз. Тогда можно доказать,
что при п —¦» ос стремится к определённому пределу;
CD
этот предел и называется отношением .
Мы виднм, что это построение существенно предполагает аксиому Архимеда: в неархимедовой геометрии возможнота кое положение вещей, что сколько бы мы ни откладывали отрезок АВ
—, мы никогда не превзойдём отрезка CD, а следовательно, не сможем определить и числа /в-f-l. Возможно
3 д. Гильберт
34
П. К. РАШЕВСКИЙ
также, что, как бы велико и мы ни брали, будет
больше отрезка CD, так что /»—|— 1 всегда равно 1, и в CD
качестве отношения придётся принять нуль, хотя отрезок CD не вырождается в точку.
Такам образом, в неархамедовой геометрии мы не можем характеризовать отношение отрезков числом по обычному способу. Тем самым мы теряем возможность говорить о пропорциональности отрезков в обычном смысле слова (равенство отношений), и теория подобия становится беспредметной. Невозможным становится также и измерение площадей, так как понятие об отношении площадей рушится по совершенно аналогичным причинам. Кроме того, выражение, например, площади треугольника полупроиз-ведением основания на высоту теряет смысл уже потому, что у нас отсутствуют численные выражения для основания и высоты (в обычном изложении — это отношения отрезков основания и высоты к отрезку, принятому за единицу длины).
Гильберт обходит эту трудность весьма интересным и, главное, естественным и геометричным методом. Он обнаруживает, что и нет необходимости опираться в геометрии на понятие числа; что средствами самой геометрии можно создать исчисление (исчисление отрезков), которое предоставит нам те же удобства, что и арифметика действительных чисел.
Прежде всего, в § 13 это исчисление даётся в абстрактном виде. Рассматриваются некоторые объекты — Гильберт называет их числами комплексной числовой системы. На эти объекты накладывается ряд требований, перечисленных в аксиомах. А именно, аксиомы 1—12 устанавливают для этих" объектов операции сложения и умножения (и обратные им) с обычными свойствами.
При этом, не нужно, конечно, операциям сложения и умножения пытаться придавать какой-либо наглядный, содержательный смысл. Сложение — это просто некоторый закон, по которому каждой паре объектов сопоставляется некоторый' Третий объект; умножение — это закон ана-
«ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ» ГИЛЬБЕРТА
35
логичного характера. Всё, что нам нужно для дальнейшего знать об этих ааконах, перечислено в указанных аксиомах.
Совокупность объектов, удовлетворяющих аксиомам 1—12, называется в современной алгебре полем. При наличии аксиомы 12 поле называется коммутативным, в противном случае — некоммутативным.
Но нам недостаточно иметь вообще поле; нам нужно ещё это поле упорядочить. Аксиомы 13—16 вводят для рассматриваемых объектов соотношения «больше» и «меньше» и указывают свойства этих соотношений. Конечно, и здесь никаких наглядных представлений о «величине» наших объектов не предполагается, а всё, что о понятии «больше» следует знать, исчерпывающе дано в аксиомах 13^-16.
Итак, аксиомами 1—16 характеризуется упорядоченное поле, и исчисление, таким образом определённое (выкладки с элементами поля), как раз и будет играть у нас основную роль. Что же касается аксиом непрерывности 17—18, то они, как можно доказать, превращают упорядоченное поле вообще (определённое аксиомами 1—16) в поле всех действительных чисел. В неархимедовой геометрии эти аксиомы в исчислении отрезков места иметь не будут, в соответствии с - отсутствием аксиом непрерывности в самой геометрии.
