Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
•Далее, в главе 111, это абстрактно, охарактеризованное исчисление с аксиомами 1—16 осуществляется геометрически. А именно, в качестве объектов исчисления берутся отрезки в неархимедовой геометрии (причём на их положение в пространстве внимания не обращается, и конгру-ентные между собой отрезки считаются одним и т^м же объектом). Операции сложения и .умножения (§ 15) отрезков вводятся геометрическим путём, в случае , сложения совершенно очевидным. Понятие «больше» определяется тоже геометрически, обычным образом. Можно проверить, что аксиомы 1—16 будут иметь место в этом исчислении отрезков. Фундаментальную роль при этой проверке .играет теорема, которую Гильберт называет коротко теоремой Паскаля. По существу, это—; частный случай теоремы 3*
36
П. К. РАШЕВСКИЙ
Паскаля, когда коническое сечение распадается на пару прямых и когда противоположные стороны шестиугольника параллельны.
Необходимо иметь в виду, что отрезки, как элементы исчисления, представят нам непосредственно лишь положительные элементы упорядоченного поля, характеризуемого аксиомами 1 —16. Чтобы получить это поле полностью, приходится — как это сделано в § 17— ввести в рассмотрение ещё «отрезок-нуль» и «отрицательные отрезки». Если ограничиться отрезками, откладываемыми по одной прямой, и условиться брать отрезок всегда с определённым порядком концов, то положительные и отрицательные отрезки можно характеризовать геометрически по обычному способу. .
Для построения всего существенного в теории подобия (§ 16) достаточно пользоваться лишь положительными отрезками. Сущность неархимедовой теории подобия основана на том, что мы теперь опять можем говорить об отношении двух отрезков а, Ь, но уже не как о числе, а как об отрезке, полученном путём деления а на b в нашем исчислении. Пропорциональность отрезков а, b отрезкам а', Ь' может быть определена равенством отрезков
¦тг—-гг или, что то же, ab' = ba'.
О о
Однако в тексте не говорится явно об отношении отрезков как об отрезке, так как отношение в этом случае страдало бы серьёзным недостатком: оно зависело бы от выбора единичного отрезка в нашем исчислении. Тем не менее пропорциональность отрезков а,Ь и а',Ь\ определённая как выше, имеет инвариантный смысл, что видно хотя бы из теоремы 42. А так как для теории подобия важна лишь пропорциональность отрезков с её обычными свойствами, то эта теория строится без затруднений в полном соответствии с обычным изложением.
Неархимедова теория площадей, изложенная в четвёртой главе, совершенно аналогичным образом использует исчисление отрезков взамен невозможного сейчас выражения, отрезков числами и операций над последними.
«ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ» ГИЛЬБЕРТА
37
Сначала определяется равновеликость двух многоугольников по разложению (возможность разложения на попарно конгруентные треугольники) и равновеликость по дополнению (возможность разложения на попарно конгруентные треугольники после подходящего расширения того и другого многоугольника за счёт попарно конгруентных треугольников). Эти понятия, эквивалентные в обычной геометрии, оказываются неравноценными в геометрии неархимедовой. Приходится положить в основу более широкое из них по объёму, именно равновеликость по дополнению. Гильберт показывает, что треугольники с одинаковыми основаниями и высотами всегда равновелики по дополнению, но могут оказаться неравновеликими по разложению.
После установления основных свойств равновеликости по дополнению (теоремы 43—47), сходных с обычными, возникает важная задача: доказать, что многоугольник не может быть равновелик по дополнению своей части (в этом смысл теоремы 48). Если бы это было , не так, то понятие равновеликости потеряло бы свою ценность, так как мы не имели бы возможности дополнить его понятиями «больше» и «меньше» в применении к площадям. Действительно, естественно принять, что один многоугольник меньше другого по площади, если первый многоугольник равновелик части второго многоугольника. Но если многоугольник способен быть равновеликим своей части, то приходится принять, что он меньше себя самого и т. д., что совершенно обесценивает понятия «больше» и «меньше».
Таким образом, в расширенном ¦ виде наша задача сводится к следующему: ввести для многоугольников понятия: «равно>, «больше» и «меньше» с их обычными свойствами и притом так, чтобы роль равенства играла выше уже определённая равновеликость по дополнению и чтобы многоугольник, заключённый в другом многоугольнике, расценивался всегда как меньший (и следовательно, как неравный).
Эта задача решается Гильбертом путём сопоставления каждому многоугольнику определённого отрезка, который называется мерой площади многоугольника. А именно, каждому треугольнику сопоставляется отрезок, равный полупроизведению основания на высоту, в смысле исчисле-
38
П. К. РАШЕВСКИЙ
ния отрезков. Каждому многоугольнику- сопоставляется сумма отрезков, отвечающих треугольникам, на которые данный многоугольник разбивается. При этом доказывается, что от способа разбиения эта сумма не зависит. Основной результат формулируется в теореме 51: для равновеликости многоугольников по дополнению необходимо и достаточно равенство их мер площади. Тем самым понятия «равно», «больше» и «меньше» для многоугольников (в смысле их площади) без труда могут быть введены путём сравнивания соответствующих отрезков (мер площади). В частности, если один многоугольник вложен в другой, то мера площади последнего, как легко вытекает из . определения, есть мера площади вложенного многоугольника плюс мера площади остатка, а значит, больше каждого из двух слагаемых. Заметим, что мы считаем здесь всё время меру площади существенно положительным отрезком. Правда, в тексте в зависимости от ориентации многоугольника рассматривается и отрицательная мера площади, но это удобно лишь в процессе доказательства (теоремы 49 и 50), а для окончательной формулировки результатов является совершенно лишним.
