Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
«ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ» ГИЛЬБЕРТА
47
играет роль фундамента почти всей математики, то проблема непротиворечивости арифметики неразрывно связана с проблемой обоснования математики вообще.
Более того: так как, исходя из аксиом, мы делаем умозаключения по законам логики, то, желая установить непротиворечивость нашей системы, мы должны одновременно с математическим содержанием подвергнуть исследованию и самую логику.
Пути и методы, способные подвести к решению задачи такого рода, были намечены Гильбертом и его школой. Основная идея заключается здесь в следующем. Предложения математики, равно как и законы логики, записываются при помощи особой символики в виде формул, без всякого участия словесных выражений. Процессы логического мышления заменяются манипуляциями с такого рода формулами по строго очерченным правилам. А именно, из формул, уже построенных, разрешается чисто механически, по точно указанным рецептам, составлять новые формулы, ц это заменяет сознательные умозаключения, выводящие из одного предложения другое. Таким образом, и математическое, и’ логическое содержание исследуемого отдела математики предстаёт Перед нами в виде.- цепи формул. Эта цепь начинается с формул; изображающих математические и логические аксиомы, н может быть неограниченно продолжаема путём механического составления новых формул. Нам нет при этом надобности помнить, какое математическое содержание записано под видом той нли иной формулы; нас интересует лишь формула сама по себе, как вполне конкретная и обозримая конечная комбинация знаков. Именно с этих позиций школа Гильберта подходит к проблеме непротиворечивости: требуется доказать, что в цепи формул не- может появиться формула, изображающая противоречий.
Однако, несмотря на Значительное число работ в этом направлении, проблемы обоснования важнейших отделов математики ещё далеко не исчерпаны. Статьи Гильберта на эти темы, приложенные к книге (приложения VI—X), имеют целью ввести читателя в круг его идей. Конечно, эти статьи, . большей частью носящие характер эскизов
48
П. К. РАШЕВСКИЙ
и написанные в некоторых частях полунамеками, ни в коем случае нельзя расценивать как связное изложение вопроса (и это тем более, что результаты последних десятилетий в них, конечно, не отражены). Изучить по этим статьям теорию доказательства Гильберта вряд ли возможно. Но зато в них с огромным воодушевлением, часто подлинно художественными красками обрисован общий ход развития его идей в области оснований математики. И если большинство деталей ускользнёт от читателя, то он всё же получит живое и яркое представление о духе и характере этих построений в целом.
Заметим ещё, что, хотя философские моменты в аргументации Гильберта иногда носят идеалистический характер, нетрудно вскрыть объективное материалистическое содержание его теории. Как было уже сказано, непротиворечивость математической теории должна быть обнаружена на основе её сведения к развёртывающейся последовательности формул. Каждая из этих формул представляет собою конечную комбинацию знаком, о смысле которых мы полностью забываем и которые рассматриваем как некоторые самостоятельные предметы. Предполагается, что в смысле такого формального обращения со знаками, например, в смысле уменья находить среди них одинаковые, уменья подставлять вместо одного определенного знака другой или целую комбинацию их и т. д., мы твёрдо стоим на ногах, и что эти операции непосредственно ясны, ни в каких дальнейших разъяснениях не. нуждаются и никаких принципиальных сомнений не вызывают.
Коротко говоря, мы предполагаем, что со знаками, из которых мы комбинируем наши формулы, мы умеем обращаться не хуже, чем с предметами материального мира. И это действительно вполне законно, так как мы везде имеем дело лишь с конечными комбинациями знаков; мы можем, например, всякую формулу исчерпывающе записать карандашом на бумаге и тем самым, если угодно, осуществить знаки, из которых она составлена, как сделанные из графита материальные предметы.
Итак, в глубочайших своих основах теория Гильберта апеллирует — но своему объективному смыслу — к матери-
«ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ» ГИЛЬБЕРТА
49
альному опыту, так как она рекомендует обращаться с логико-математическими знаками в конечном счбте просто так, как если бы это были предметы материального мира. А это становится возможным лишь в связи со строгой конечностью всех комбинаций, в которых логико-математические знаки встречаются в связи с возможностью до конца рассмотреть, перебрать каждую такую комбинацию. Поэтому так называемая «конечная установка» Гильберта и играет столь существенную роль в его теории.
О НЕЗАВИСИМОСТИ АКСИОМ
Мы уже говорили о том, что естественно желать, чтобы система аксиом была минимальной в смысле заключбпных в ней требований, чтобы в числе этих требований не было излишних. Если этой идее дать точную формулировку, то мы придем к понятию независимости аксиом.
Мы говорим, что данная акснома является независимой от остальных аксиом (или от их части), если она не может быть выведена из этих аксиом как их логическое следствие. Таким образом, аксиома, независимая от остальных аксиом, ни в коем случае не может быть безнаказанно выкинута из аксиоматики данной геометрической системы; утрата ей невознаградима, так как то, что она содержала, невозможно восстановить за счёт оставшихся аксиом.
