Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Идеальным положением вещей в смысле сведения системы аксиом к минимуму было бы такое, когда каждая из аксиом была бы независима от остальных. В этом случае мы действительно были бы уверены, что в нашей аксиоматике невозможны больше никакие сокращения и всякое сокращение повело бы к ослаблению аксиоматики по существу, а тем самым и к изменению геометрической системы.
Однако такое положение вещей недостижимо до конца в интересующем нас случае аксиоматики Гильберта. Дело в том, что, например, при формулировке аксиом II группы, относящихся к понятию «между», предполагается, что уже установлено понятие «принадлежит» со свойствами, описанными в I группе аксиом. А при формулировке аксиом конгруентности (III группа) предполагается кроме того,
4 Д. Гильберг
50
П. К. РАШЕВСКИЙ
что и понятие «между» уже установлено аксиомами Ii группы. Такого рода предположение существенно иногда уже для самой возможности формулировать аксиомы III группы; так, в формулировке аксиомы 1П4 фигурирует понятие полуплоскости, которое невозможно установить без использования аксиом II группы.
Поэтому было бы бессмысленно даже ставить вопрос, например, о независимости аксиомы Паша Н4 от аксиом
III группы: нельзя пытаться доказать, что аксиома Паша не вытекает (или вытекает) из этих аксиом, так как уже, чтобы их формулировать, нужно заранее предположить справедливость аксиомы Паша.
Гильберт рассматривает (§§ 10—12) вопрос о независимости лишь для некоторых наиболее интересных аксиом. Прежде всего речь идёт о независимости аксиомы параллельности IV от всех остальных аксиом. На этом примере мы и разъясним общий приём, употребляющийся для доказательства независимости той или иной аксиомы. Рассмотрим новую систему, в которой все аксиомы те же самые, что и в системе Гильберта, кроме аксиомы параллельности, вместо которой помещено её отрицание (т. е. утверждается, что можно указать такую прямую и точку вне её, что через точку можно провести более оздой прямой, не пересекающей данную прямую и лежащей с ней в одной плоскости).
Представим себе, что мы установили непротиворечивость этой новой системы аксиом. Отсюда сейчас же следует, что аксиома параллельности независима от остальных аксиом. В самом деле, если бы она была их следствием, то она вытекала бы и из новой системы аксиом (в которой все прежние аксиомы, кроме аксиомы параллельности, содержатся). А так как в новой системе аксиом содержится и отрицание аксиомы параллельности, то новая система аксиом, вопреки установленному, содержала бы противоречие.
Итак, для доказательства независимости данной аксиомы от остальных достаточно доказать непротиворечивость той системы аксиом, которая получается, если данную аксиому заменить её отрицанием, а остальные аксиомы оставить без изменения. В нашем случае задача сводится, очевидно,
«ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ» ГИЛЬБЕРТА
51
к доказательству непротиворечивости неевклидовой геометрии Лобачевского.
Когда ставился вопрос о непротиворечивости евклидовой геометрии, то мы сводили его к вопросу о непротиворечивости арифметики путём аналитической интерпретации. Аналогичным образом вопрос о непротиворечивости геометрии Лобачевского можно свести к вопросу о непротиворечивости евклидовой геометрии путём, например, проективной интерпретации Кэли-Клейна геометрии Лобачевского. На эту интерпретацию Гильберт и ссылается. Возьмём в евклидовом пространстве шар и условимся понимать под точками—-точки внутри шара, под прямыми — отрезки, имеющие концы на поверхности шара, под плоскостями — внутренности кругов, полученных сечением шара плоскостями. Принадлежность понимается в обычном смысле, порядок точек на прямой — тоже в обычном смысле, а под конгруеитностью двух отрезков или углов понимается возможность совместить эти отрезки (или углы) в результате такой коллинеации (проективного преобразования) пространства в себя, при которой внутренность шара переходит в себя (подробное изложение вопроса см. Клейн, Неевклидова геометрия).
Можно проверить, что при таком истолковании (интерпретации) основных геометрических понятий оказываются верными все аксиомы Гильберта, кроме аксиомы параллельности, которая заведомо неверна. Другими словами, мы имеем интерпретацию геометрии Лобачевского, при которой все основные понятия, а значит, и все предложения этой геометрии истолкованы как некоторые понятия и предложения евклидовой геометрии. Так как при этой интерпретации аксиомы геометрии Лобачевского имеют место, то, если бы они приводили к противоречию, мы получили бы противоречие и в интерпретации. Но в интерпретации предложения геометрил Лобачевского истолкованы как предложения евклидовой геометрии; следовательно, мы получили бы противоречие в этой последней. Поэтому если мы признаём евклидову геометрию непротиворечивой, то и геометрию Лобачевского нам придётся признать в такой же степени непротиворечивой.
4*
52
П. К. РЛШЕВСКИЙ
Далее (§11) Гильберт доказывает независимость аксиомы 1115 от всех остальных; дело в том, что эта аксиома на первый взгляд представляется слишком сложной и громоздкой, «похожей на теорему». Однако доказательство независимости показывает, что мы не можем отбросить эту аксиому, так как из остальных она не вытекает.
