Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
44
П. К. РАШЕВСКИЙ
аксиомы I, II, IV*, в то же время исчисление отрезков существенно некоммутативно, а следовательно, теорема Паскаля неверна.
Таким образом, без аксиомы Архимеда, только на основании аксиом I, II, IV* доказать теорему Паскаля оказывается невозможным.
ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ. ГЛАВА СЕДЬМАЯ: НЕАРХИМЕДОВА ТЕОРИЯ ПОСТРОЕНИЙ
Мы возвращаемся опять в область метрической неархимедовой геометрии, т. е. опираемся на все аксиомы I — IV. Исключены, следовательно, только аксиомы непрерывности. Мы ограничиваемся при этом лишь геометрией на плоскости.
Содержание некоторых аксиом состоит, как легко заметить, в том, что утверждается разрешимость определенных, задач на построение. А именно, утверждается возможность: провести прямую через две точки (I,), отложить отрезок, конгруентный данному отрезку, по данному лучу (П^) и отложить угол, конгруентный данному углу в данной полуплоскости и от данного луча (Ш4). Ещё одно аналогичное утверждение содержится в аксиоме параллельности IV. Это становится ясным, если взять её в формулировке Евклида: две прямые, образующие с некоторой секущей внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, пересекаются между собой. Здесь утверждается, таким образом, возможность построить при определенных условиях точку, общую двум прямым.
Просматривая аксиомы I—IV, нетрудно убедиться, что этим исчерпываются все задачи на построение, разрешимость которых требуется непосредственно аксиомами. Остальные задачи на построение, в той мере, в какой они разрешимы в нашей геометрии, сводятся, таким образом, к перечисленным четырём основным задачам.
Более того, оказывается, что это остаётся верным и в том случае, если из списка основных задач выкинуть откладывание угла и откладывание произвольного отрезка, заменив последнее откладыванием фиксированного отрезка (теорема 63). Таким образом, в нашем распоряжении остаётся
«ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ» ГИЛЬБЕРТА
45
«линейка» и откладывание «эталона длины», и этого достаточно для выполнения всех допустимых построений.
Бросается в глаза то обстоятельство, что в основных задачах совершенно не упоминается об окружностях, хотя обычно при геометрических построениях мы привыкли наряду с «линейкой» пользоваться и «циркулем». Это обстоятельство не случайно: окружность при геометрических построениях имеет ценность постольку, поскольку при известных условиях мы можем строить точки пересечения окружностей между собой и с прямыми.
Между тем в неархимедовой геометрии мы не можем утверждать, что прямая пересечётся с окружностью даже в том случае, когда прямая заведомо имеет точки, отстоящие от центра окружности меньше чем на радиус. В силу отсутствия аксиомы непрерывности прямая может «проскочить» из области внутренних точек окружности в область ей внешних точек, «не задев» самой окружности. Поэтому употребление окружностей для неархимедовых геометрических построений бесполезно, и мы вынуждены ограничиться боЛее слабыми средствами.
Далее, теорема 64 выясняет, к?к можно характеризовать координаты тех точек, которые получаются из данных точек посредством построений с линейкой и эталоном длины. Оказывается, что координаты построенных точек получаются из координат исходных точек посредством четырех рациональных операций и извлечений квадратных корней, но каждый раз только из суммы квадратов уже построенных чисел (мы возвращаемся к обыкновенной геометрии, и речь идет просто о действительных числах, хотя то же самое верно и для координат как элементов исчисления отрезков в неархимедовой геометрии).
Остающаяся часть главы сконцентрирована около теоремы 65.
Как известно, задачи на построение, разрешимые при посредстве линейки и циркуля, характеризуются тем, что координаты искомых точек выражаются через координаты данных точек посредством четырёх рациональных операций и извлечений квадратного корня из любых уже построенных положительных, чисел.
46
П. К. РАШЕВСКИЙ
Отсюда лишний раз видно, что задачи, разрешимые при помощи линейки и эталона длины, являются частным случаем задач, разрешимых прн помощи линейки и циркуля.
Оказывается — ив этом состоит суть теоремы 65,— что этот частный случай характеризуется тем, что задача имеет наибольшее возможное число решений (принимаются во внимание лишь действительные решения, в том числе и •связанные с несобственными элементами). А именно, если для аналитического решения задачи требуется не менее п извлечений квадратного корня, то число её решений в этом частном случае должно быть равно 2'1; это и необходимо и достаточно.
ПРОБЛЕМА НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ
Первый вопрос, естественно встающий перед нами при чисто логическом развёртывании геометрии на основе аксиом, это вопрос о непротиворечивости нашей аксиоматики. Гарантированы ли мы от появления противоречий в нашей системе, не может ли случиться, что у нас окажется доказанной какая-нибудь теорема и одновременно её отрицание? В этом случае наша аксиоматика не имела бы никакой цены. Во второй главе, посвящённой как раз логическим проблемам, этот вопрос поставлен прежде всего и решён посредством аналитической интерпретации нашей геометрической системы (§ 9). Смысл аналитической интерпретации заключается в том, что основным понятиям геометрии даётся арифметическое истолкование (например, точка — тройка действительных чисел и т.д.), причём все аксиомы1 остаются правильными в этом истолковании, превращаясь в предложения арифметики действительных чисел (подробно этот вопрос изложен в примечаниях [36], [37] и [S8J, стр. 441 — 444). Поэтому всякое противоречие в нашей геометрической системе означало бы противоречие в арифметике действительных чисел. Таким образом, мы не совсем точно сказали,, что вопрос о непротиворечивости геометрии решён в § 9: он только сведён к более фундаментальному вопросу: к проблеме непротиворечивости арифметики. А так как-арифметика целых, а вслед за тем действительных чисел.
