Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Наконец (§ 12), показывается, что аксиома Архимеда независима от предыдущих аксиом 1 — IV. С этой целью строится иеархимедова геометрия в узком смысле, т. е. геометрия, в которой ак?иома Архимеда заведомо неверна.
О ДОБАВЛЕНИЯХ
В немецком издании 1930 года к основному тексту книги приложены в качестве дополнений десять статей, написанных Гильбертом в разное время; эти статьи переведены полностью. О статьях V) — X, посвящённых основаниям математики, мы выше уже говорили. Статьи I — V носят геометрический характер; в них исследуются отдельные проблемы, ценные сами по себе, ио чрезвычайно разнородные и несравнимо более узкого характера, чем содержание основного текста. Только статья И (исследование плоской геометрии, лишённой зеркальной симметрии) и 111 (построение геометрии Лобачевского без участия аксиом непрерывности) по стилю примыкают к основному тексту; остальные имеют к нему лишь косвенное отношение.
Не только по своей весьма специальной тематике, ио в значительной степени и по характеру изложения дополнительные статьи рассчитаны иа читателя-специалиста. В связи с этим при переводе по отношению к ним не ставилась та задача, которая была поставлена для основного текста: дать подробные примечания, восполняющие во всём существенном часто чрезмерно беглое изложение автора.
Д. ГИЛЬБЕРТ
¦" \л
ОСНОВАНИЯ
ГЕОМЕТРИИ
*
.~==Уу ==
ВВЕДЕНИЕ
Геометрия,—.так же как и арифметика,— требует для своего построения только немногих простых основных положений. Эти основные положения называются аксиомами геометрии. Установление аксиом геометрии и исследование их взаимоотношений — это задача, которая со времён Евклида являлась темой многочисленных прекрасных произведений математической литературы. Задача эта сводится к логическому анализу нашего пространственного представления.
Настоящее исследование представляет собою новую попытку установить для геометрии полную и возможно более простую систему аксиом и вывести из этих аксиом важнейшие геометрические теоремы так, чтобы при этом стало совершенно ясно значение как различных групп аксиом, так и следствий, получающихся из отдельных аксиом.
ГЛАВА ПЕРВАЯ
. .... ¦ ""v" 1,1 *
ПЯТЬ ГРУПП АКСИОМ § 1. Элементы геометрии и пять групп аксиом
ы мыслим три различные системы вещей [*]: вещи первой системы мы называем точками и обозначаем А, В, С, вещи второй системы мы называем прямыми и обозначаем а, Ь, с, ..вещи третьей системы мы называем плоскостями и обозначаем a, [S, у, ...; точки называются также элементами линейной геометрии, точки и прямые — элементами плоской геометрии [2], точки, прямые и плоскости — элементами пространственной геометрии или элементами пространства.
Мы мыслим точки, прямые и плоскости в определённых соотношениях и обозначаем эти соотношения различными словами, как-то: «лежать», «между», «конгруентный», «параллельный», «непрерывный». Точное и для математических целей полное описание этих соотношений достигается аксиомами геометрии.
Аксиомы геометрии мы можем разбить на пять групп. Каждая из этих групп выражает определённые, связанные друг с другом основные результаты нашего опыта. Мы будем называть эти группы следующим образом:
I 1—8 аксиомы соединения (принадлежности),
II 1—4 .аксиомы порядка,
III 1—5 аксиомы конгруентности,
IV аксиома о параллельных,
V 1—2 аксиомы непрерывности.
§ 2. ПЕРВАЯ ГРУППА АКСИОМ
57
§ 2. Первая группа аксиом: аксиомы соединения (принадлежности) [8]
Аксиомы этой группы устанавливают отношения принадлежности между введёнными выше вещами — точками, прямыми и плоскостями — и гласят следующим образом:
I,. Для любых двух точек Л, В существует прямая а, принадлежащая каждой из этих двух точек Л, В.
12. Для двух точек А, В существует не более одной прямой, принадлежащей каждой из точек Л, В.
Здесь, как и в последующем, под двумя, тремя, ... точками (прямыми, плоскостями) всегда подразумеваются различные точки (прямые, плоскости).
Вместо термина «принадлежат» мы будем пользоваться также и другими формулировками. Например, вместо прямая а принадлежит каждой из точек А и В, мы будем говорить: прямая а проходит через точки А и В или прямая а соединяет точку А с точкой В\ вместо А принадлежит а, мы будем говорить: А лежит на а, или А является точкой а и т. п. Если точка А лежит на прямой а и, кроме того, на прямой b, то мы будем также говорить: прямые а и Ъ пересекаются в точке Л, имеют общую точку Л ит. п.
1а. На прямой существуют по крайней мере две точки. Существуют по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой.
14. Для любых трёх точек А, В, С, не лежащих на одной и той же прямой, существует плоскость а, принадлежащая каждой из трех точек А, В, С. Для любой плоскости всегда существует принадлежащая ей точка.
Мы будем также употреблять выражения: Л лежит на а, А есть точка а и т. п.
!6. Для любых трёх точек А, В, С, не лежащих на одной и той же прямой, существует не более одной плоскости, принадлежащей этим точкам.
