Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гильберт Д. -> "Основания геометрии" -> 5

Основания геометрии - Гильберт Д.

Гильберт Д. Основания геометрии — ОГИЗ, 1948. — 492 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovaniyageometrii1948.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 169 >> Следующая


ЗНАЧЕНИЕ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ В ВОПРОСЕ ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ

В чём непосредственно заключается содержание неевклидовой геометрии? Оказывается, что в геометрии можно отказаться от V постулата, т. е. принять, что в плоскости через всякую точку, взятую вне какой-нибудь прямой, проходит бесчисленное множество прямых, эту прямую не пересекающих. Несмотря на, казалось бы, очевидную неправильность этого допущения, из него можно неограниченно выводить следствия, доказывать теоремы, не приходя к логическому противоречию. В результате возникает новая, неевклидова геометрия. Правда, многие из теорем этой геометрии, ещё в большей степени, чем исходное допущение, представляются нам с наглядной точки зрения неправильными, а некоторые — просто чудовищными. Но логически изложение остаётся безупречным.

Уже это обстоятельство показывает известную автономию логического строения геометрии по отношению к гео-

*) Жизнь и творческий путь Лобачевского в широком историческом аспекте показаны в книге В. Ф. Кагана «Лобачевский*.

2 Д. Гильберт
18

П. К. РАШЕВСКИЙ

метрической наглядности, показывает, что логическое развитие геометрии может осуществляться в известной мере независимо и даже вразрез с наглядными представлениями, заимствованными из физического опыта. Но ещё большее значение имела другая сторона дела, которой интересовался уже Гаусс. А именно, естественно поставить вопрос: если логически обе геометрии — евклидова и неевклидова — строятся безупречно, то ведь в материальном мире должна быть справедлива лишь одна (или, если выражаться точнее, одна из них должна лучше отражать свойство протяжённости, чем другая). Постановка этого вопроса уже прямым путйм ведёт к тому различению геометрии как физики и геометрии как математики, о котором говорилось в начале этой статьи.

В самом деле, если геометрию брать как учение о протяженности реального мира, то оказывается, что математика может предложить для неё на выбор разнообразные схемы (к неевклидовой геометрии Лобачевского дальнейшее развитие науки добавило другие, более широкие обобщения). Выбор наилучшей среди этих схем должен быть решйн путём физического опыта, и в этом смысле геометрия становится подлинной частью физики. Между тем, пока существовала только одна евклидова геометрия, то, естественно, считали её безусловно обязательной для природы. Если бы эта точка зрения не была преодолена, то такой крупный прогресс в физике, как появление теории относительности, стал бы невозможным.

Во-вторых, ясно, что наша интуиция, наши наглядные представления, если даже считать, что они дают нам вполне определённые указания, не могут одновременно соответствовать всем существенно различным между собой геометриям. Поэтому нам остаётся лишь один выход: возможно полнее использовать логическую связь предложений в области геометрии как математики, и обосновать на ней развитие геометрических систем. Это значит, что мы переходим к выше обрисованной аксиоматической точке зрения. Укажем некоторые важнейшие вехи на том пути, по которому исторически шло осуществление этой цели.
«ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ» ГИЛЬБЕРТА

19

ПРЕДШЕСТВЕННИКИ ГИЛЬБЕРТА

Первым крупным достижением в области аксиоматического построения геометрии явилось исследование Паша «Лекции по новой геометрии» (Pasch, Vorlesungen (iber neuere Geometrie, 1882)*). Паш считает, что основные положения геометрии должны быть заимствованы из опыта, но дальнейшее развитие геометрической системы должно протекать путём чисто логических умозаключений. В осуществление этой идеи Паш формулирует прежде всего 12 аксиом следующего характера (им у Гильберта отвечают аксиомы I и II группы). Это, во-первых, аксиомы, касающиеся принадлежности точек прямым и плоскостям. Впрочем, Паш рассматривает собственно не прямые, а лишь отрезки, и не плоскости, а ограниченные куски плоскостей. Он мотивирует это тем, что бесконечные прямые и плоскости не даны нам в опыте, закрывая глаза на то, что конечные отрезки в математическом смысле тоже не даны нам в опыте и тоже являются результатом абстракции.

Аксиомы, о которых идёт речь, утверждают, что между двумя точками всегда лежит один и только один отрезок, что через каждые три точки проходит «кусок плоскости», что если две точки отрезка лежат на данном «куске плоскости», то и все точки этого отрезка лежат на некотором «куске плдскости», заключающем в себе данный «кусок плоскости»,, и т. д.

Здесь под «отрезком» и «куском плоскости» понимаются некоторые совокупности точек. Какие именно совокупности и что нужно понимать подточкой—математически

*) В этой краткой вступительной статье нам приходится игнорировать, как и многие другие моменты, историю аналитического направления в области оснований геометрии, связанного с именами Ли и Клейиа. Интересующиеся вопросом найдут его прекрасное изложение в кииге В. Ф. К а г а и а «Основания геометрии», том 11, -«Исторический очерк развития учения об основаниях геометрии». Первый том той же книги посвящён обоснованию геометрии яа весьма оригинальных началах, объединяющих в себе в известной мере и аналитическое и синтетическое направления.
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 169 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed