Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
АВ — А'В',
то
А'В' ~ АВ [18];
если
АВ= А'В'
и
А'В' == А'В’,
то
АВшеА'В1.
Вследствие симметрии конгруентности отрезков можно пользоваться выражением: два отрезка «конгруентны друг другу».
liis. Пусть АВ и ВС суть два отрезка прямой а, не имеющие ни одной общей точки, и пусть, далее, А'В'
А в с о
А' В' С' а'
Черт. 11.
и В'С' суть два отрезка той же прямой или другой прямой а', также не имеющие общей точки [черт. 11]; 5*
68
ГЛ. I: ПЯТЬ ГРУПП АКСИОМ
если при этом
АВ = А'В' и ВС = В'С,
то и
АС— А'С'.
Эта аксиома выражает требование возможности складывать отрезки.
Откладывание углов трактуется совершенно так же, как и откладывание отрезков. Правда, кроме, возможности откладывания углов приходится аксиоматически потребовать ещё и единственность такого откладывания; транзитивность и возможность складывания углов доказуемы.
Определение. Пусть а—произвольная плоскость, a Л и А — какие-то ёе два луча, различные, исходящие из одной и той же точки О и принадлежащие различным прямым. Систему таких двух лучей A, А мы называем углом и обозначаем её так: -gC (A, к) или -gC (к, А).
Лучи A, А называются сторонами угла, а точка О — вер-шиной угла.
Развёрнутые и сверхтупые углы этим определением исключаются.
Пусть луч А принадлежит прямой А, луч к — прямой А. Лучи А и А совместно с. точкой О делят остальные точки плоскости а на две области: одну область составляют точки, которые лежат от А по одну сторону с А и от А по одну сторону с к,— про них говорят, что они лежат внутри угла (А, А); про остальные точки говорят, что они лежат вне этого угла.
На основами аксиом [групп] I и II легко показать, что обе области содержат точки и что отрезок, соединяющий две точки внутри угла, целиком проходит внутри угла. Точно так же легко доказать следующие теоремы: отрезок НК, соединяющий точку Н, лежащую иа А, с точкой К, лежащей на к, целиком проходит внутри угла -gC (А, к)\ луч, исходящий из точки О, либо целиком лежит внутри угла
(А, к), либо целиком лежит вне этого угла; луч, лежащий внутри угла ¦§? (А, к), встречает отрезок НК. Если А —
§ 5. ТРЕТЬЯ ГРУППА АКСИОМ
69
точка одной области и В — точка другой области, то всякая ломаная, [лежащая в плоскости угла hJ соединяющая точки А и В, или проходит через точку О, или имеет либо с Л, либо с k общую точку; если же А, А' — точки одной и той же области, то всегда [в плоскости угла] существует ломаная, соединяющая точку А с точкой А' и не проходящая ни через точку О, ни через одну из точек лучей Л и k [191.
Углы [в некоторых случаях] находятся один к другому в определённом соотношении, для обозначения которого нам служат слова «конгруентен» или «равен».
Ш4. Пусть даны угол ЗС(Л, k) в плоскости а и прямая d в плоскости а', а также вполне определённая по отношению прямой а' сторона плоскости а'. Пусть А' обозначает луч прямой а', исходящий из точки О'; в таком случае в плоскости а' существует один и то ль ка один луч k', обладающий следующим свойство и: угол (Л, k) конгруентен, иначе говоря, равен углу ЗС (А', А'), и вместе с тем все внутренние точки угла •§С (A', k ) находятся в плоскости а', по данную сторону от прямой cf. Конгруентность угла §; (A, k) углу (A', А') обозначают так:
ЗС(А, А) = ЗС(А\ *').
Каждый угол конгруентен самому себе, т. е. всегда ?(А, *)=3C(A, А).
Короче говоря: каждый угол может быть отложен [20] одним единственным способом в заданной плоскости, при заданном луче по заданную его сторону.
При определении угла мы не обращали внимания на направление вращения, подобно тому как при определении отрезка мы не обращали внимания на его направление. Поэтому записи
3C(M)=s3C(A',A') 3C(A,A) = 3C(fc\A'),
?(М)-ЗС(Л',П 3C(*,A)-3;(A\A')
имеют один и тот же смысл.
70
ГЛ. I. ПЯТЬ ГРУПП АКСИОМ
Пояснение. Угол с вершиной в точке В, на одной стороне которого лежит точка А, а на другой — точ-. ка С, обозначается также символом А ВС или, короче, 2?.В. Углы обозначаются также малыми греческими буквами.
Ш6. Если для двух треугольников ABC и А'В'С имеют место конгруентности
АВ = А'В', АС = А’С, ^СВАС^^В’А'С,
то имеет место также и конгруентность ЗС ABC = А’В’С.
Понятие треугольника было определено на стр. 64. Переменив обозначения, мы найдём, что при выполнении условий последней аксиомы всегда имеют место две конгруентности:
ЗС ABC = ЗС А'В'С' и ЗС АСВ~$:А'С'В'.
Аксиомы Н1,_8 содержат утверждения, касающиеся лишь конгруентности отрезков; их можно поэтому называть линейными аксиомами группы III. Акси-
