Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Определение. Совокупность конечного числа точек называется фигурой-, если все точки фигуры лежат в одной плоскости, то фигура называется плоской.
Две фигуры называются конгруентными, если их точки можно попарно поставить в соответствие друг другу таким образом, чтобы отрезки и углы, оказавшиеся при этом в соответствии, былн друг другу конгруентны.
Конгруентные фигуры, как это видно из теорем 14 и 27, обладают следующими свойствами. Если в некоторой фигуре три точки лежат на одной прямой, то во всякой конгруент-иой ей фигуре соответствующие точки тоже лежат на одной прямой. Расположение точек в соответственных плоскостях относительно соответственных прямых в конгруентных
§ 7. ЧЕТВЁРТАЯ ГРУППА АКСИОМ
85
фигурах одно и то же. То же относится и для прямолинейных рядов соответствующих точек на соответствующих прямых.
Наиболее общая теорема о конгруентности на плоскости и в пространстве формулируется следующим образом:
Т еор ем а 28. Если (А, В,С,..L) и (Д',В', С',..., L') суть две конгруентные плоские фигуры и точка Р находится в плоскости первой из них, то в плоскости второй фигуры всегда найдётся точка Р' такая, что фигуры (А, В,С, ..., L, Р) и (А', В', С',. . ., L', Р1) будут также конгруентны. Если фигура (Д, В, С, ..., L) содержит хотя бы три точки не лежащие на одной прямой, то построение точки Р’ может быть выполнено только одним способом [82].
Теорема 29. Если фигуры (А, В, С,..., L) и (А', В , С',..., L) конгруентны, то любой точке Р можно поставить в соответствие точку Р' так, чтобы фигуры (А, В, С,..., L, Р) и (А', В' С',... ,L',P') оказались конгруентными. Если при этом фигура (А, В, С........L) содер-
жит хотя бы четыре точки, не лежащие в одной плоскости, то построение точки Р' может быть выполнено только одним способом.
Теорема 29 есть выражение того важного результата, что все факты конгруентности в пространствен тем самым свойства движения в пространстве суть следствия пяти установленных выше аксиом конгруентности на прямой и на плоскости, рассматриваемых совместно с аксиомами групп I и II [33].
§ 7. Четвёртая группа аксиом: аксиома о параллельных
Пусть а есть некоторая плоскость, а — некоторая прямая в плоскости а, а А —- точка в этой же плоскости, лежащая вне прямой а. Проведём в плоскости а через точку А сначала прямую с, пересекающую прямую а, затем прямую b так, чтобы прямая с пересекала прямые а и b под равными соответственными углами. В таком случае, как это легко
86
ГЛ. I. ПЯТЬ ГРУПП АКСИОМ
заключить из теоремы о внешнем угле (теорема 22), прямые а и b не имеют общей точки, т. е. в плоскости а через точку А, лежащую вне прямой а, всегда можно провести прямую, не пересекающую прямую а.
Аксиома о параллельных гласит:
IV (Аксиома Евклида). Пусть а—произвольная прямая, а А — точка, лежащая вне её; в таком случае в плоскости, определяемой прямой а а точкой А, существует не более одно й прямой, проходящей через точку А а не пересекающей прямую а.
Определение. Из предыдущего и на основании аксиомы о параллельных мы знаем, что в плоскости, опре-. деляемой прямой а и точкой А, существует однаи только одна прямая, проходящая через точку А и не пересекающая прямой а; мы называем её прямой, параллельной а, проходящей через точку А.
Аксиома о параллельных IV равносильна следующему требованию:
Если две прямые а, Ь, лежащие в одной плоскости, не пересекают третью прямую, лежащую в той же плоскости, то они не пересекаются также и между собою.
Действительно, если бы прямые а, b имели общую точку А, то в той нее плоскости возможны были бы две прямые
а, Ъ, проходящие через точку А, которые не пересекали бы прямой с; это обстоятельство противоречит аксиоме о параллельных IV. Так же легко получается и обратное утверждение, что аксиома о параллельных следует из указанного требования.
Аксиома о параллельных IV есть плоскостная аксиома.
Введение аксиомы о параллельных значительно упрощает основания геометрии и облегчает её построение.
Именно, еелн мы к аксиомам конгруентности присоединим аксиому о параллельных, то' легко придём к известным предложениям:
Теорема 30. Если две параллельные прямые пересекаются третьей прямой, то образующиеся при этрм соответт ственные и накрест лежащие углы конгруентны, и обратно,
§ 8. ПЯТАЯ ГРУППА АКСИОМ
87
из конгруентности соответственных и. накрест лежащих углов следует параллельность прямых.
Теорема 31. Сумма углов треугольника равна двум прямым*).
Определение. Пусть М. есть некоторая точка в плоскости а; совокупность всех точек А, лежащих в плоскости а, для которых отрезки МА конгруентны друг другу, называется окружностью', точка М называется центром окружности.
С помощью аксиом групп III и IV из этого определения легко вывести знакомые теоремы об; окружности, в частности теорему о том, что через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, теорему о конгруентности всех углон, вписанных в окружность и опирающихся на одну и же.хорду, теорему об углах вписанного четырёхугольника. . ..
