Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Эта теорема, которая соответствует аксиоме Ш2, может быть формулирована так: если два угла конгруентны порознь третьему, то они конгруентны друг другу.
Доказательство. Пусть точки О', О”, О служат вершинами трёх данных углов. На одной из сторон каждого
*) Это доказательство теоремы 19, которая в первом изда-вии была принята за аксиому, принадлежит А. Розенталю (См. A. Roge n t ha 1, Math. Ann. т. 71) А. Роз eн та л ю принадлежит также упрощённая формулировка аксиомы 14 (см. Math, Ann. г. 69).
78
ГЛ. I. ПЯТЬ ГРУПП АКСИОМ
угла выберем по точке так, чтобы выполнялись конгруентности: О'А' =5 О А и О" А" = О А, где буквами А', А", А обозначены выбранные нами точки [черт. 19]. Точно так же на других сторонах этих же углов выберем точки В', В", В так, чтобы О'В' ~ОВ и О’В" == ОВ. В силу теоремы 12
Черт. 19.
эти конгруентности вместе с заданными (А', к') = (к, к)
и §; (h", к") = §; (h, к) влекут за собою конгруентности:
А'В' =АВ и АпВ"~АВ.
Согласно аксиоме 1112, стороны треугольников А'В'О' и А"В"0" соответственно конгруентны, а потому, на основании теоремы 18,
^(к',кг)^^(к",к").
Аналогично тому, как из аксиомы Ш2 вытекает свойство симметрии для конгруентности отрезков, из теоремы 19 следует свойство симметрии для конгруентности углов, т. е. если -5С а= то углы §; а и <?С [J конгруентны друг другу [в любом порядке]. В частности, формулировку теорем 12—14 можно теперь сделать симметричной.
Теперь мы можем обосновать сравнение углов по величине.
Теорема 20. Пусть, мы имеем два угла (h, к) и ¦ЗС(А',/'). Если при откладывании угла -§С (А, к) при луче А' со стороны луча V получается внутренний луч к', то при построении угла §; (А',/') при луче h со стороны луча к получается внешний луч I и наоборот [черт. 20].
До казательство. Предположим, что I проходит внутри угла Зс (А, к). Так как (А, к) = (А', к'), то вну-
треннему лучу /, согласно теореме 16, соответствует луч проходящий внутри угла ^С(А',?') и притом такой, что
§ 6. СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ КОНГРУЕНТНОСТИ 79
(Л, /) = -§С (А\ I") [черт. 21]. По предположению, •§? (А, /)= s-§C(A'/'), причём /' и Г должны быть непременно различны. Получаем противоречие с однозначностью отклады-
вания углов по аксиоме 1114. Обратное положение доказывается аналогично.
Определение. Если в результате построения угла (h, k), описанного в теореме 20, луч ft' попадает внутрь угла ^С(А',/'), то говорят, что угол <? (h, k) меньше угла §С(А',/'), и обозначают это так:
3:(А, А)<ЗС(А',/'); если же луч А' попадает вне угла то мы гово-
рим, что угол -§С (A,ft) больше угла ¦§? (А',/'), и обозначаем
это так: ЗС(А, А)>-5С (*',/').
Мы нашли, что для углов аир всегда имеет место одна и только одна из следующих трёх возможностей: a<j* и fi>a, a=jJ, a>p и.(5<а. Сравнение углов по величине транзитивно, т. е. из каждого из трёх предположений:
1. «>М>Т: 2. а>М = у; 3. « = ?, ?>у
следует, что а у [28].
80
ГЛ. I. ПЯТЬ ГРУПП АКСИОМ
Сравнение величин отрезков и аналогичные свойства этого сравнения непосредственно вытекают из аксиом 11 и 111, и однозначности откладывания отрезков, доказанной на стр. 70.
При помощи сравнения углов получается доказательство следующей простой теоремы, которую Евклид — по моему мнению, неправильно — отнёс к аксиомам.
Теорема 21. Все прямые углы конгруентны между собою *).
Доказатепьство. Согласно определению, прямой угол есть угол, конгруентный своему смежному. Пусть угол §С(й, /), обозначенный а, и угол <!?(&,/), обозначенный р, суть углы смежные, равно как и углы а' и [Г, и пусть при этом а ={5 и а' = Р'. Предположим, в противоречии с утверждением теоремы, что угол а' не конгруентен углу а [черт. 22]. Тогда, построив угол а' при луче h с той
Черт. 22.
его стороны, с которой лежит луч I, мы получим луч /*, отличный от /. Таким образом, Г лежит либо внутри угла а, либо внутри угла (S. Если I" лежит внутри а, то
?(*,/")< а, а = р, р <?.(*, О [2#].
А так как сравнение величин обладает свойством транзитивности, то ЗС (А, Г) ЗС (?.П- С Другой стороны, из наших предположений и из теоремы 14 следует, что
ЗС (Л, Г) = а', а' = р = |С Л П и, таким образом. ^
*) Ф. Вален в своей книге «Абстрактная ¦ геометрия» (Th. Vahlen, «Abstrakte Geomeirie», Leipzig. 1905, стр. 242) замечает, что эту теорему доказал ещё Лежандр Однако Лежандр в своём доказательстве исходил из предположения, что углы образуют непрерывную систему величин.
§ 6. СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ КОНГРУЕНТНОСТИ 81
Эта конгруентность противоречит соотношению
В случае, когда Г лежит внутри угла р, мы аналогичным образом приходим к противоречию. Таким образом, теорема 21 доказана.
Определение. Угол, больший своего смежного и, следовательно, больший прямого угла, называется тупцм. Угол, меньший своего смежного и, следовательно, меньший прямого угла, называется острым.
