Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 15. Пусть h, k, I и h', k', /' [черт. 16] суть две тройки лучей, каждая из которых исходит из одной точки и лежит в одной плоскости; эти точки мы обозначим соответственно буквами О и О', а плоскости — а и а'. При этом пусть пары лучей Л, ft и h', k' либо обе
лежат по одну сторону, либо обе лежат по разные стороны от соответствующих лучей /, Тогда из конгруентностей
& (h, I) = э; (*', /'), зс (М) = э: (*'. /')
следует, что
•5С(А, k)=2t(h',k').
Доказательство будет приведено для того случая, когда h и k лежат по одну сторону от /; в этим случае
§ 6. СЛЕДСТВИЯ ИЗ» АКСИОМ КОНГРУЕНТНОСТИ 75
А' и k', согласно условиям, также лежат по одну сторону от V. Другой случай с. помощью теоремы 14 сводится к рассматриваемому. Из сказанного на стр. 68 следует, что либо луч h проходит внутри угла (к, I), либо луч k — внутри угла (й, /) [24]. Обозначения выбраны нами так, что луч h проходит внутри угла (к, /). Выберем на сторонах к, k', /, V точки К, К', L, L' так, чтобы 0К = 0'К' и 0L~0'L'. В силу одной из теорем, указанных на стр. 68, луч h пересекает отрезок KL в точке Н. Выберем точку Н' на луче h' так, чтобы ОН = 0'Н'. В треугольниках OLH и О L'H', а также в треугольниках OLK и O'L'K', в силу теоремы 12, следующие элементы конгруентны:
OLH — ЗС O'L'H', ^OLK^^O'L'K',
LH = L'H', LK^L'K'
и, на*конец,
2C0KL=e$:0'K'L'.
Согласно аксиоме 1114, в заданной плоскости при данном луче по данную сторону от него можно отложить угол одним единственным способом. Точки Н' и К', согласно предположению, лежат по одну сторону от V, а потому, в силу первых двух из вышеуказанных конгруентностей между углами, точка Н' лежнт на прямой L'К'. А отсюда, на основании выписанных выше конгруентностей между отрезками и в силу аксиомы IIIg, легко получается, что НК= Н'К'. Из конгруентностей же ОК = 0'К\НК=Н'К\ 2?.0KL = 2?0'КU, в силу аксиомы III., следует справедливость доказываемой нами теоремы [2Ь].
Таким же образом мы устанавливаем следующий факт.
Теорема 16. Пусть угол <?(h,k), лежащий в плоскости а, конгруентен углу лежащему в плоско-
сти а'. Пусть, кроме того, I — луч, лежащий в плоскости а, исходящий из вершины угла ¦§? (A, k) и проходящий внутри этого угла. При этих условиях в плоскости а' существует один и только один луч /', исходящий из вершины угла (h', k') и проходящий внутри этого угла так, что
76
ГЛ. I. ПЯТЬ ГРУПП АКСИОМ
Перейдбм к доказательству третьей теоремы о конгруентности и того факта, что конгруентность углов обладает свойством симметрии. Для этого мы сначала выведем из теоремы 15 следующее следствие.
Теорема 17. Если две точки Z, и Z2 расположены с различных сторон прямой XY и если при этом имеют
В особом случае, когда точка X или точка Y лежат на отрезке ZXZV доказательство ещё проще. Из последней конгруентности и конгруентностей XZx ~XZ2 и YZX = YZ2, в силу аксиомы Ш6, следует справедливость нашего утверждения: XYZx = XYZ2.
Теорема 18 (третья теорема о конгруентности треугольников). Если в двух треугольниках ABC и А'В'С' соответственные стороны конгруентны, то [эти] треугольники конгруентны.
Доказательство. Как доказано на стр. 67, конгруентность отрезков обладает свойством симметрии, а потому достаточно доказать, что треугольник ABC кои-груентен треугольнику А'В'С' [черт. 18]. От точки А' по обе стороны луча А'С' отложим по лучу так, чтобы угол ВАС был конгруен.тен каждому из двух углов, образуемых ими с лучом А'С'. На луче, лежащем по ту же сторону от прямой А'С\ что й точка В', выберем точку В0 так, чтобы А'В0~ АВ, а на другом луче выберем точку В" так, чтобы A'ff' = AB. Согласно теореме 12, ВС = В0С' и точно так же ВС = В"С'. Из этих двух конгруентностей и конгруентностей, указанных в условии теоремы, в силу аксиомы 1П2, следует:
х
место конгруентности
XZt = XZz и YZX = YZ2,
то
gXYZ^gXYZ,.
у
Черт. 17.
Доказательство. В силу теоремы 11 XZxZ% = •§? XZ^Zx и KZ,Z2 = ЗС YZ2Zu а потому
А'В" = А 'В0; В"С == В0С:
§ 6. СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ КОНГРУЕНТНОСТИ
и соответственно
А’В" = А'В', В"С'~В'С.
Условиям теоремы 17 удовлетворяет как пара треугольников А'В"С' и А'ВаС', так и пара треугольников А'В'С' и А'В'С'; следовательно, угол ^В'А'С' конгруентен как углу -5С В0А'С', так н углу 'ЗС В'А'С'. Но так как, по аксиоме Ш4, в заданной плоскости при данном луче по дан-
ную его сторону любой данный угол можно отложить одним единственным способом, то луч А'В0 должен совпасть с лучом А'В', т. е. угол, конгруентный углу ВАС и построенный при луче А'С' с определённой его стороны, есть ^В'А'С'. Из конгруентности
ВАС = ЗС В'А'С и из конгруентностей отрезков, о которых говорится в условии теоремы, следует, согласно теореме 12, заключение нашей теоремы.
Теорема 19. Если два угла 2?.(h',k') и ^С(А", ft') порознь конфуентны третьему ЗС(Л, ft), то угол %^(h',k ) конгруентен также углу ЗС (Л", ft")*).
