Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
л Л' О 8
----1-------------1--------1---
Черт. 9.
жащих по одну и ту же сторону от точки О, называется также полупрямой или лучом, исходящим из точки О. Таким образом, каждая точка прямой делит её на два луча [14].
Определение. Система отрезков АВ, ВС, CD,... ,KL называется ломаной, соединяющей точки А и L-, эта ломаная обозначается короче так: ABCD...KL. Точки, лежащие внутри отрезков АВ, ВС, CD, . . ., KL, а • равно и точки А, В, С, D, ..., К, L называются точками ломаной. Если точки А, В, С, D, . .., К, L все находятся в однэй плоскости и кроме того точка L совпадает с точкой А, то такая ломаная называется многоугольником и обозначается так: многоугольник ABCD...K. Отрезки АВ, ВС, CD, .. ., КА называются сторонами многоугольника, а точки A,B,C,D, ..., К—вершинами многоугольника. Многоугольники, имеющие 3, 4, ..., п вершин, называются треугольниками, четыреугольниками, .. ., п-уголь-никами.
Определение. Если все вершины многоугольника различны, ни одна из вершин многоугольника не лежит на его стороне и никакая пара его сторон не имеет общей внутренней точки, то многоугольник называется простым.
§ 4. СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ СОЕДИНЕНИЯ И ПОРЯДКА 65
С помощью теоремы 8 мы приходим теперь без особых трудностей к следующей теореме:
Теорема 9. Всякий простой многоугольник, лежащий в плоскости а, разбивает точки плоскости а, не принадлежащие многоугольнику, на две области — внутреннюю и внешнюю, — обладающие следующими свойствами: если А есть точка внутренней области (внутренняя точка), а В — точка внешней области (внешняя точка), то всякая ломаная, лежащая в плоскости а и соединяющая точки А и В, имеет по крайней мере одну общую точку с многоугольником; если же А и А' суть две внутренние точки многоугольника, а В и В' — его внешние точки, то, наоборот, всегда существуют в плоскости а ломаные, соединяющие точку А с А' и точку В с В’ и не имеющие никаких общих точек с многоугольником. При надлежащем выборе названия для обеих областей, в плоскости будут существовать прямые, целиком проходящие во внешней области многоугольника, и, наоборот, не будет существовать ни одной прямой, целиком лежащей в его внутренней области [черт. 10][18J.
Теорема 10. Каждая плоскость а разбивает прочие точки пространства на две области, обладающие следующим свойством: любая точка А одной из областей совместно с любой точкой В другой области определяет отрезок АВ, внутри которого лежит точка плоскости а; наоборот, любые две точки А и А' одной и той же области определяют отрезок АА', не содержащий ни одной точки плоскости а [16].
Определение. Мы- будем говорить, что точки А и А' — мы пользуемся здесь обозначениями теоремы 10 — в пространстве находятся по одну и ту же сторону от плоскости а, а точки А и В в Пространстве находятся по разные стороны от плоскости а.
5 Д. Гильберт
66
ГЛ. t. ПЯТЬ ГРУПП АКСИОМ
Теорема 10 выражает важнейшие факты, касающиеся расположения элементов в пространстве; этн факты, таким образом, являются лишь следствиями до сих пор рассмотренных аксиом: группа 11 не нуждается нн в каких новых пространственных аксиомах.
§ 5. Третья группа аксиом: аксиомы конгруентности
Эти аксиомы определяют понятие конгруентности и тем самым понятие движения.
Отрезки [в некоторых случаях] находятся в определённом соотношении друг с другом; для обозначения этого соотношения служат слова «конгруентен» или «равен» [17].
111,, Если А, В суть две точки на прямой а и А' — точка на той же прямой или на другой прямой а', то всегда можно найти точку В', лежащую по данную от точки А' сторону прямой аи притом такую, что отрезок АВ конгруентен, иначе говоря, равен отрезку А'В'. Конгруентность отрезка АВ отрезку А'В' обозначается следующим образом:
АВ = А'В’.
Эта аксиома даёт возможность откладывать отрезки. Однозначность такого откладывания будет доказана впоследствии.
Отрезок был определён просто как система двух точек, которая обозначалась через АВ или через ВА. Насчёт порядка, в котором эти точки следуют одна за другой, в определении не было ничего сказано; поэтому записи
АВ=А'В’, АВ = В'А',
ВА = А'Ь', ВА = В'А'
имеют один и тот же смысл.
Ш2. Если отрезок А'В' и отрезок AVB' конгруентны одному и тону же отрезку АВ, то отрезок А'В' конгруентен также и отрезку А"В"\ короче говоря, если два отрезка конгруентны третьему, то они конгруентны также друг другу.
§ 5. ТРЕТЬЯ ГРУППА АКСИОМ
67
Так как конгруентность, или равенство, вводится здесь впервые этими аксиомами, то конгруентность любого отрезка самому себе сначала отнюдь не представляется само собой разумеющимся фактом; однако этот факт следует из первых двух аксиом конгруентности:. отложим отрезок АВ на каком-либо луче, т. е. построим отрезок А'В', конгруентный АВ, и применим затем к конгруентности АВ=А'В’ и АВ=А'В’ аксиому Ш2.
На основании этого получается далее, с помощью применения аксиомы Ш2, что конгруентность отрезков обладает свойствами симметрии и транзитивности, т. е. что справедливы теоремы; если
