Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 5. Любые четыре точки на прямой можно обозначить буквами Л, В, С, D так, чтобы точка, обозначенная буквой В, лежала как между точками Л и С, так
F
Черт. 6.
и между А и D, а точка, обозначенная буквой С, лежала как между точками А и D, так и между В и D *).
Доказательство. Пусть Л, В, С, D суть четыре точки прямой g. Докажем сначала следующее:
1. Если точка В лежит на отрезке АС, а точка С — на отрезке BD, то точки В и С лежат и на отрезке AD [черт. 6]. Обозначим через Е некоторую точку, не лежа-
*) Это предложение, отнесённое в первом [немецком] издании к аксиомам, было выведено Е. Муром как следствие из остальных аксиом соединения и порядка (Е. Н. Moore, Trans. Math. Soc., 1902). См. также следующие относящиеся сюда работы Веблена (Veblen, Trans. Math.Soc., 1904) и Швейцера (Schweitzer, American Journ., 1909). Сюда же примыкает исследование о независимости системы линейных аксиом порядка Е. фон Унтингтона (Е. v. Huntington, «А new set of postulates for betweenness with proof of complete independence», Trans. Math. Soc., 1924, см. также Trans. Math. Soc., 1917).
62
ГЛ. !. ПЯТЬ ГРУПП АКСИОМ
щую на прямой g, и выберем точку F так, чтобы Е лежала между С и F; найти такие две точки мы можем в силу аксиом 13 и П2. Многократно используя аксиомы П3 и И4, мы найдём, что отрезки АЕ и BF пересекаются в некоторой точке О и, далее, что прямая CF пересекает отрезок GD в некоторой точке Н [7]. Таким образом, Н лежит на отрезке GD, а Е, в силу аксиомы П3, лежит вне отрезка АО. Поэтому, в силу аксиомы Н4, прямая ЕН пересекает отрезок AD, т. е. С лежит на отрезке AD [8]. Аналогично этому доказывают, что точка В также лежит на этом отрезке.
2. Если точка В лежит на отрезке АС, а точка С — на отрезке AD, то точка С лежит также на отрезке BD, а точка В — на отрезке AD. Выберем некоторую точку G, лежащую вне прямой g. и ещё одну точку- F так, чтобы О лежала на отрезке BF. В силу аксиом 12 и П3, прямая CF не пересекает ни отрезка АВ, ни отрезка ВО, и, следовательно, в силу аксиомы П4, она не пересекается также и с отрезком AG. Но так как точка С лежит на отрезке AD, то прямая CF встречает отрезок GD в некоторой точке Н. Прямая FH пересекает отрезок BD, опять-таки в силу аксиом 113 и П4 [®]. Остающаяся часть утверждения 2 следует теперь из утверждения 1.
Пусть теперь нам даны какие-либо четыре точки на прямой. Возьмём какие-либо три из этих точек и обозначим буквой Q ту из них, которая, в силу теоремы 4 и аксиомы Н3, лежит между двумя другими; эти же две точки обозначим буквами Р и R; наконец, последнюю из четырёх заданных точек обозначим через S. В ^аком случае оказывается, опять-таки в силу теоремы 4 и аксиомы 113, что точка S может занимать одно из следующих пятн положений:
R лежит между Р и S,
Р лежит между R и 5,
S лежит между Р и R и в то же время:
или Q лежит между Р и S,
или S лежит между Р и Q,
или Р лежит между Q и S.
§ 4. СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ СОЕДИНЕНИЯ И ПОРЯДКА 63
В случае одного из четырёх первых положений применимо утверждение 2, в случае последнего положения применимо утверждение 1 [10]. Таким образом, теорема 5 доказана.
Теорема 6 (обобщение теоремы 5). Как бы ни было расположено конечное число точек на прямой, их можно обозначить буквами А, В, С, D, Е, ..., К [черт. 7] так, чтобы точка, обозначенная буквой В, лежала между точ-
В
-t~
С д ¦+
i-----------1-
И
Черт. 7.
кой А с одной стороны и точками С, D, Е, ..., К—с другой, далее С—между А и В с одной стороны и D, Е, .К с другой, D-между А, В, С с одной стороны и Е, ..., К с другой и т. д. Кроме этого обозначения существует ещё только обратный способ обозначения К, . .Е, D, С, В, Л, обладающий тем же свойством [п].
Теорема 7. Между любыми двумя точками прямой существует бесчисленное множество точек [12].
Теорема 8. Каждая прямая а, лежащая в плоскости а, разбивает точки плоскости а, не лежащие на этой прямой, на две области, обладающие следующим свойством: каждая точка Л
одной нз областей вместе с каждой точкой В другой области определяют отрезок АВ, внутри которого лежит одна точка прямой а, а любые две точки Л и Л' одной и той же области определяют отрезок, не содержащий ни одной из точек прямой а[13].
Определение. Мы будем говорить, что точки Л и Л' [черт. 8J лежат в плоскости а по одну и ту ще сто-
64
ГЛ. I. ПЯТЬ ГРУПП АКСИОМ
рону от прямой а и что точки А а В лежат в плоскости а по разные стороны от прямой а.
Определение. Пусть на прямой а заданы четыре точки А, А', О, В [черт. 9] так, что точка О лежит между А и В, но не лежит между А и А'; в таком случае мы будем говорить, что точки Л, А' лежат на прямой а по одну и ту же сторону от точки О и что точки Л, В лежат на прямой а по разные стороны от точки О. Совокупность всех точек прямой а, ле-
