Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гильберт Д. -> "Основания геометрии" -> 28

Основания геометрии - Гильберт Д.

Гильберт Д. Основания геометрии — ОГИЗ, 1948. — 492 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovaniyageometrii1948.djvu
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 169 >> Следующая


§ 8. Пятая группа аксиом: аксиомы непрерывности.

V, (Аксиома измерения или аксиома Архимед а). Пусть АВ и CD — два каких-нибудь отрезка; тогда на прямой АВ существует конечное число точек Л„ Аъ Аг, ..., Ап, таких, что отрезки ААХ, АХА2, A2As, ..., Ап_хАп конгруентны отрезку CD и точка В лежит между А и Ап [черт. 27].

А 4* Aw В Я, С

____I----- ¦! ¦ !<.¦ >¦ ----*

а

Черт. 27.

V2 (А к с и ом а л и н ейн о й полноты). Точки, прямой образуют систему, которая при сохранении линейного порядка (теорема. 6), первой аксиомы о конгруентности и аксиомы Архимеда (т. е. аксиом I1_2l.II,. HI,, V,) не допускает никакого расширения, т. е. к э т о й' системе

*) Относительно обратного вопроса — насколько эта теорема может заменить собою аксиому о параллельных, — см. примечание в конце гл. И. § 12..
88

ГЛ. I. ПЯТЬ ГРУПП АКСИОМ

точек невозможно прибавить ещё точки так, чтобы в системе, образованной первоначальными и добавленными точками, выполнялись все приведённые аксиомы.

Сохранение всех аксиом, о котором идёт речь в этой аксиоме, надо понимать так: после расширения все аксиомы должны сохранить свой первоначальный смысл, т. е. соотношения между точками, существовавшие до расширения, а именно, первоначальный порядок и первоначальная конгруентность отрезков, после расширения нигде не должны быть нарушены; например, точка А, лежавшая перед расширением между точками В и С, должна и после расширения лежать между В и С; отрезки, которые до расширения были друг другу конгруентны, должны остаться конгруентными и после расширения.

Выполнимость аксиомы полноты существенно обусловлена тем, что в ней средн аксиом, сохранение которых требуется, находится аксиома Архимеда. Действительно, можно показать следующее: к системе точек на прямой, для которой выполняются аксиомы Ij_2, II и III,, всегда можно добавить ещё точки таким образом, чтобы в системе, образованной первоначальными и добавленными точками, также выполнялись упомянутые аксиомы; это значит, что аксиома полноты, в которой требуется сохранение всех указанных аксиом, за исключением аксиомы Архимеда, или соответствующей ей аксиомы, заключает в себе противоречие.

Обе аксномы непрерывности являются линейными аксиомами [®*].

Существенно, что из аксиомы линейной полноты вытекают следующие более общие предложения:

Теорема 32 (Теорема полноты*)). Элементы геометрии (т. е. точки, прямые и плоскости) образуют систему, которая при сохранении аксиом соединения и порядка,

*) В предыдущих изданиях эта теорема рассматривалась как аксиома. Указание того, что достаточна аксиома линейной полноты, было сделано П. Бернайсом (Р. Вег nays).
§ 8. ПЯТАЯ ГРУППА АКСИОМ

89

первой аксиомы конгруентности и аксиомы Архимеда ие допускает никакого расширения за счёт новых точек, прямых и плоскостей; при сохранении же всех аксиом элементы геометрии и подавно образуют систему, не допускающую подобного расширения.

Слова «расширение» и «сохранение» надо при этом понимать так же, как и в аксиоме V2.

Доказательство. Элементы, которые существовали до расширения, мы будем называть с т а р ы м и элементами, а те элементы, которые добавились при расширении,— новыми. Добавление новых элементов влечёт за собою добавление новой точки N.

Согласно аксиоме 18, существуют четыре старые точки А, В, С, D, не лежащие в одной плоскости. Обозначения можно при этом выбрать так, чтобы точки А, В, N не лежали на одной прямой. Плоскости ABN и ACD не совпадают друг с другом и кроме общей точки А имеют, согласно аксиоме 17, ещё и общую точку Е. Точка Е ие лежит на прямой АВ, так как в противном случае точка В лежала бы в плоскости ACD. Если Е является иовой точкой, то в старой, плоскости ACD лежит новая точка Е; если же Е является старой точкой,, то новая точка N лежит в старой плоскости АВЕ. Во всяком случае, таким образом, оказывается, что какая-то новая точка лежит в какой-либо старой плоскости.

В старой плоскости существует старый треугольник FGHt а на отрезке FG старая точка / [черт. 28]. Соединим новую точку L с точкой I. Тогда, согласно аксиоме Н4, прямая IL пересекает либо прямую FH, либо прямую GH в точке К, если только новая точка L не лежит на
90

ГЛ. I. ПЯТЬ ГРУПП АКСИОМ

прямой IH: Если К есть новая точка', то новая точка К лежит на старой прямой FH или GH; если же К есть старая точка, то новая точка L лежит на старой прямой IK. Следовательно, все три предположения противоречат аксиоме о линейной полноте. Таким образом, надо отказаться от прибавления новой точки в старой плоскости и, тем самым, вообще от добавления новых элементов.

Теорему о полноте можно формулировать ещё более резко; сохранения некоторых из упомянутых в ней аксиом не требуется. Однако для справедливости этой теоремы является, например, существенным, чтобы в ней среди аксиом, сохранение которых требуется, была аксиома 17. Действительно, можно показать следующее: к системе элементов, в которой выполняются аксиомы 1—V, всегда можно добавить ещё точки, прямые и плоскости так, чтобы в системе, образованной старыми и новыми элементами, выполнялись указанные аксиомы, исключая аксиомы 17; иными. словами, теорема полноты, в,условии которой отсутствовала бы аксиома I, или равносильная, ей аксиома, заключала бы в себе противоречие [36].
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 169 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed